CLASE 23: Repasando el Teorema de PItágoras.

Buenos días!

Retomamos, un día más,  nuestras clases de Matemáticas on-blog. Me gustaría saber cuántos de vosotros echáis de menos las clases del instituto. La verdad que cada día que pasa veo más improbable que podamos retomar las clases  dentro del aula. Así que cuando tengáis un rato me escribís un correo  y me decís si tenéis ganas de volver o ya lo dejamos para el próximo curso.
Vuestra opinión es importante y me sirve para realizar un pequeño análisis estadístico de la situación. Es lo que hacemos en Matemáticas: analizar datos, dibujar gráficas y  calcular porcentajes... que para algo se han inventado.

En la clase del lunes vimos  algunas aplicaciones del Teorema de Pitágoras. Si aquello os quedó claro, vamos a avanzar materia. La clase de hoy la vamos a dedicar a repasar lo visto estos últimos días. Debéis recordar el nombre de las figuras planas más importantes,  que vimos en lecciones anteriores. Para los más despistados, os dejo aquí un pequeño esquema-resumen:

Recordad que en cualquier problema geométrico, lo primero que debéis hacer es dibujar (con regla y compás si fuera necesario) la figura correspondiente. Luego se ponen las medidas, sobre la figura. Si  al aplicar el Teorema de Pitágoras, las raíces cuadradas obtenidas  no son exactas, haremos una aproximación con dos cifras decimales, ok?

Sin más preámbulos vamos a realizar unos ejercicios de repaso. Abrid vuestro libro por la página 185,  el cuaderno por donde corresponda, sentaos bien en la silla, y cuando estéis preparados comenzamos...


TAREA 1: Realiza en tu cuaderno los ejercicios del 1 al 6 de la página 185.

Como veréis, los ejercicios 1 y 2 son otra manera de interpretar el teorema de Pitágoras. El ejercicio 3 es el recíproco del teorema. El resto de ejercicios son de aplicación, para determinar bien un cateto o bien una hipotenusa. Esta parte creo que es fácil y no encontraréis mayor dificultad.
(Recordad que primero debéis dibujar la figura correspondiente,  colocando los datos del problema, antes de realizar los cálculos. Usad siempre regla y compás.)

 Practicad bien esta parte porque lo vamos a utilizar a menudo. De momento es todo por hoy. El próximo viernes os propondré una colección de ejercicios de aplicación, antes de pasar de tema.

Como siempre, una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo:   fedematesxxi@gmail.com

  Este correo también lo tenéis disponible para dudas.

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Próxima sesión: Viernes 15 de Mayo de 2020.

CLASE 22: Aplicaciones del Teorema de Pitágoras.

Buenos días!

Comenzamos una nueva semana y continuamos con  una nueva lección de Matemáticas on-blog. 

En la clase del viernes pasado vimos el Teorema de Pitágoras y su recíproco. La clase de hoy va orientada a la resolución de diversos problemas, donde se hace necesario usar el teorema.

Vamos a dividir la clase en dos partes.  En la primera veremos una serie de problemas prácticos.

En la segunda, veremos como aplicar el teorema para medir longitudes en diversos problemas de tipo geométrico, con el fin de calcular áreas de figuras planas. De manera que coged vuestro libro de Matemáticas, abridlo por la página 181, el cuaderno por donde corresponda, y cuando estéis preparados, comenzamos...

1. APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS.

Veamos unos ejemplos, que podéis leer en vuestro libro:

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Fijaos que primero tenéis que hacer un dibujo y poner los datos. Luego tenéis que reconocer los catetos y la hipotenusa. Y por último aplicar el teorema, para calcular el valor de la longitud que se pide. Si has entendido bien estos ejemplos, vamos por la primera tarea del día.

TAREA 1:  Realiza en tu cuaderno el ejercicio 2 de la página 181.

(Una vez realizado, continuamos...)

2. APLICACIONES A LA GEOMETRÍA

En ocasiones se nos plantea el problema de determinar la medida de un segmento de una figura geométrica, a partir de unos pocos datos. Conocer esta medida, nos puede servir para determinar tanto el perímetro como el área de la figura. Recuerda que el perímetro es la suma de todos sus lados.

Es importante recordar las fórmulas de las áreas de las principales figuras planas. El siguiente cuadro resumen debes pasarlo a tu cuaderno:

Un ejercicio básico en geometría consiste en determinar el perímetro y el área de una figura plana. Veamos unos pocos  ejemplos:

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Ejemplo 5: 

Si os fijais bien, en todos los ejemplos, para calcular el área, aplicando la fórmula correspondiente, debéis calcular siempre un lado que falta. Para determinar ese lado, aplicamos el Teorema de Pitágoras. Recordad que la superficie de cualquier figura se mide en unidades cuadradas (metros cuadrados, decímetros cuadrados, centímetros cuadrados, etc...)

En cambio el perímetro de una figura, al ser una medida de longitud, se mide metros, decímetros, centímetros.... no los confundáis, ok?

Para practicar esta parte, vamos a por la segunda tarea del día.

TAREA 2: Realiza en tu cuaderno los ejercicios  del 1 al 5 de la página 184.

(Recuerda que primero tienes que dibujar la figura correspondiente,  colocando los datos del problema, antes de realizar los cálculos. Las figuras debes dibujarla con regla y compás.)

De momento es todo por hoy. Practicad bien esta parte porque lo vamos a utilizar a menudo.

El próximo día más...

Como siempre, una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo:   fedematesxxi@gmail.com

  Este correo también lo tenéis disponible para dudas.

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Próxima sesión: Miércoles 13 de Mayo de 2020.

CLASE 21: El teorema de Pitágoras.

Buenos días!

Hoy vamos a comenzar un tema nuevo. Dejamos atrás la parte de funciones y gráficas y vamos a dedicar lo que nos resta  de curso a los temas de Geometría.  Como tampoco tenemos mucho tiempo, repasaremos lo básico de cada tema, con intención de llegar a aprender a calcular áreas y volúmenes de los principales cuerpos geométricos.

Tenéis que buscar el volumen II de vuestro libro de Matemáticas, para continuar por donde lo dejamos.  Abrid el libro por la página 178, correspondiente al tema 9, el cuaderno por donde corresponda, y cuando estéis preparados, comenzamos...

1. ¿QUÉ ES LA GEOMETRÍA?

La Geometría es la rama de las Matemáticas que se ocupa del estudio de las formas en el plano o en el espacio. La palabra geometría, procede del griego "geo", que significa Tierra, y "metría", osea medir. Es decir, la geometría originariamente se encargaba de medir la tierra, y es en efecto lo que sucedió.

Hace muchos años, en el Antiguo Egipto, las crecidas del Nilo provocaban que se perdieran los límites de las zonas de cultivo, que se encontraban a sus orillas. Pensad que en el desierto no hay apenas agua, y para cultivar, hay que estar cerca de un buen manantial, lago o río, con el fin de regar las cosechas. Cuando el Nilo se desbordaba, los agricultores  de la época tenían que volver a reconstruir las zonas dedicadas al cultivo, midiendo nuevas parcelas. Se trataba por tanto de medir de nuevo la tierra, con el fin de hacer un reparto justo de las mismas. A los que medían la tierra se les llamaba los geómetras, de ahí el nombre.

La geometría ha avanzado mucho desde entonces. Pero sigue estudiando los mismos objetos: puntos, rectas, planos.... además todo esto nos viene dado por la Naturaleza, como veremos.

Antes de nada, vais a necesitar nuevas herramientas, porque para construir la geometría, como mínimo necesitamos una regla y un compás. Pero hay algunas más que os detallo a continuación.

2. HERRAMIENTAS  DE  DIBUJO.

• Lápiz (nº 2 ) y goma de borrar.
• Regla (de 30 cm)
• Compás.
• Escuadra.
• Cartabón.
• Semicírculo graduado.

Al menos debéis tener a mano en vuestro escritorio una regla,  un compás, y un semicírculo graduado para dibujar ángulos. Los dibujos se hacen siempre a lápiz, y sólo cuando esté correcto, lo podemos repasar con el bolígrafo  o un rotulador. Debéis acostumbraros a usarlos siempre que tengáis que hacer cualquier figura geométrica, ok?

Lo que no tengo muy claro es si sabéis la diferencia entre una escuadra y un cartabón. Así que os lo propongo como primera tarea del día, que debéis realizar en el cuaderno.

TAREA 1:  Indica la diferencia entre una escuadra y un cartabón. ¿Para qué se utilizan cada uno de estos instrumentos de dibujo? 

(Una vez hecho el ejercicio, continuamos...)

3. EL TEOREMA DE PITÁGORAS

Antes de comenzar con el teorema, debéis recordad como se clasifican los diferentes tipos de triángulos, en función de cómo son sus lados.

Clasificación de triángulos.

Los triángulos se pueden clasificar de dos maneras: según como sean sus lados, o como sean sus ángulos.

Según sus lados:

Equilátero: es el triángulo que tiene todos sus lados iguales.

Isósceles: es el triángulo que tiene dos lados iguales y uno desigual.

Escaleno: es el triángulo que tiene todos sus lados distintos.

Según sus ángulos interiores:

Rectángulo: es el que posee un ángulo recto, y los otros dos agudos.

Obtusángulo: es el que posee un ángulo obtuso y los otros dos agudos.

Acutángulo: es el que posee sus tres ángulos agudos.

Se pueden dar combinaciones de ellos. Por ejemplo un triángulo puede ser rectángulo e isósceles. O bien obtusángulo y escaleno. El Teorema de Pitágoras se refiere  sólo a triángulos rectángulos.

En todo  triángulo rectángulo, siempre hay un lado que es mayor que los otros dos. Ese lado se denomina hipotenusa, y como convenio de notación lo señalaremos con la letra a.

Los otros dos lados son más cortos, y por ser cortos, se denominan catetos.  Los catetos se designan por las letras b y c.

A veces no resulta fácil saber cuál es la hipotenusa, y cuáles los catetos. Recuerda este truco:

la hipotenusa es siempre el lado opuesto al ángulo de 90º.  

Los otros dos lados serán los catetos, y da igual llamar a uno b y al otro c, o viceversa.

Pues bien, si tenemos todo esto claro, ya estamos en condiciones de enunciar el famoso teorema que puedes encontrar en la página 178 de tu libro de texto.

"En un triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

Recuerda: Si el triángulo no es rectángulo, el teorema de Pitágoras no se puede aplicar.

Existen dos tipos de problemas relacionados con el teorema. O bien nos dan los catetos y tenemos que calcular la hipotenusa, o bien nos dan la hipotenusa y un cateto, y tenemos que calcular el otro cateto. Os dejo un par de ejemplos que debéis copiar en vuestro cuaderno, que os pueden servir para aclarar  ideas.

Ejemplo 1: 

Ejemplo 2: 

Fijaos que cuando se pide la hipotenusa, se suman los cuadrados de los catetos. Cuando se pide un cateto, se restan los cuadrados. Eso es lógico, porque los catetos miden siempre menos que la hipotenusa. Para practicar ésto, vamos a por la segunda  tarea del día.

TAREA 2: Realiza en tu cuaderno el ejercicio 1 de la página 180, sobre el Teorema de Pitágoras.

(Una vez realizada la tarea continuamos...)

4. EL RECÍPROCO DEL TEOREMA DE PITÁGORAS.

Podemos pensar ahora a la inversa. Suponed que nos dan los tres lados de un triángulo cualquiera, por ejemplo  a =5,  b = 4   y c =3.
La pregunta que nos hacemos es: ¿será un triángulo rectángulo?

Por suerte, podemos saber el tipo de triángulo sin dibujarlo, simplemente haciendo unos pocos cálculos. Esto es lo que se conoce como recíproco del teorema de Pitágoras. 

Si la hipotenusa (a) al cuadrado coincide con la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces podemos afirmar que se trata de un triángulo rectángulo. Si es mayor, será un triángulo obtusángulo. Y si es menor será un triángulo acutángulo.

En el ejemplo de arriba tendríamos:  4² + 3² = 16 + 9 = 25 = 5²

por tanto se trata de un triángulo rectángulo!

A la terna (3,4,5) también se le llama una terna pitagórica. 

A modo de resumen tenemos lo siguiente:

Fíjate en el siguiente ejercicio resuelto:

TAREA 3: Realiza en tu cuaderno el ejercicio 3 de la página 179, para aplicar lo aprendido sobre el recíproco del Teorema de Pitágoras.

De momento es todo por hoy. Practicad bien esta parte porque lo vamos a utilizar a menudo.

El próximo día veremos como se utiliza este teorema para resolver muchos problemas prácticos.

Como siempre, una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo:   fedematesxxi@gmail.com

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Próxima sesión: Lunes 11 de Mayo de 2020.

CLASE 20: Repasamos el tema 13 (Funciones y gráficas)

Buenos días!

Volvemos un día más con nuestras clases de Matemáticas on-blog.  La clase de hoy es básicamente repaso de lo que hemos estado explicando estos días pasados: funciones, gráficas e interpretación de gráficas.

Recordad que para representar una función cualquiera,  debemos elaborar una tabla de valores. Un caso particular es la función lineal, donde podemos prescindir de la tabla si conocemos la pendiente y la ordenada en el origen. Os acordáis, verdad?

Pues dicho esto, vamos a ver si lo tenéis todo más o menos claro. Abrid vuestro libro por la página 275, el cuaderno en una hoja nueva, echad mano de vuestra regla de dibujo, y cuando estéis preparados vamos a por la única tarea del día.

TAREA:  Realizar la autoevaluación del tema 13, sobre funciones y gráficas, que encontraréis en la página 275 de vuestro libro (ejercicios del 1 al 5).

Como siempre, una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo:   fedematesxxi@gmail.com

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Próxima sesión: Viernes 8 de Mayo de 2020.

CLASE 19: Practicando la función lineal.

Buenos días!

Comenzamos una nueva semana,  y retomamos nuestras clases de Matemáticas on-blog. Si recordáis, la semana pasada estuvimos viendo como representar e interpretar gráficas. En las últimas lecciones, aprendimos a representar una función lineal (o afín) y como pasar de la expresión algebraica a la gráfica y viceversa.

También aprendimos el importante concepto de pendiente de una recta, que permite medir la su inclinación. En la clase de hoy vamos a practicar esta última parte. No vamos a explicar nada nuevo, porque prácticamente todo quedó explicado en lecciones anteriores. Lo que no tengo muy claro es si lo habéis "pillado" bien...  así que vamos a comprobarlo.

Coged vuestro libro de Matemáticas y abridlo por la página 271. Os propongo una única tarea para hoy:

TAREA: Realizar en el cuaderno los ejercicios 17, 18, 19 y 20 de la página 271, sobre funciones lineales.

Fijaos que en ejercicio 18 no es necesario hacer una tabla de valores para cada función. Basta con fijaros en la pendiente y la ordenada en el origen, para representar la recta. Si queréis, podéis  representar cada dos apartados sobre unos mismos ejes coordenados, para que no salga muy extenso el ejercicio. En el ejercicio 19, debéis asociar a cada letra (o color) la expresión algebraica de la función lineal correspondiente. Luego son ejercicios en los que no hay que escribir demasiado. Simplemente debéis tener los conceptos claros.

Como siempre, una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo:   fedematesxxi@gmail.com

  Este correo también lo tenéis disponible para dudas.

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Próxima sesión: Miércoles 6 de Mayo de 2020.

CLASE 18: La función afin.

Buenos días!
Volvemos un día más  con una nueva lección de nuestras Matemáticas on-blog.  Dejamos atrás el mes de Abril y comenzamos un nuevo mes, Mayo.  Sin darnos cuenta los días van pasando  y cada vez tenemos más cerca el fin de curso. 

                                            

Nos queda un mes de trabajo intenso. Pero he de decir que algunos lo estáis haciendo bastante bien. Mi intención es ver durante este mes de Mayo los temas de geometría (nos quedan dos), con el fin de que tengáis una buena base, para el próximo curso.

Vamos a finalizar el tema de funciones y gráficas, y para ello os voy a explicar en qué consiste una función afín. Los  próximos días los dedicaremos a repasar lo que hemos estado viendo en las últimas lecciones.

Coged vuestro cuaderno, abrid el libro de Matemáticas por la página 266,  organizad bien el escritorio y cuando estéis preparados, comenzamos...


LA FUNCIÓN AFÍN.
Se denomina función afín, a la que es de la forma   y = m·x + n. 
El valor "m" se denomina pendiente de la recta.
El valor "n" se denomina ordenada en el origen.

La representación gráfica de este tipo de funciones es una línea recta que pasa por el punto 

P(0, n)

Ejemplos: Son funciones afines, expresiones del tipo:
a) y = 2x + 1                b) y = 3x - 2                  c)  y = -1/3 x + 5                d) y = 0.65x + 3,2

Veamos un ejemplo práctico donde surgen de manera natural este tipo de funciones:

Ejemplo: Diana quiere hacer volar su dron desde su terraza que está a 3 metros de altura. El dron asciende a razón de 2 metros cada segundo. 

La altura a la que se encuentra el dron al cabo de los primeros segundos se puede obtener mediante una tabla de valores.

Vemos por tanto que la expresión que relaciona el tiempo de vuelo (x) con la altura (y) es una función afín.  Para que no se te olvide, copia en tu cuaderno lo siguiente:

Fíjate como tu libro llama funciones lineales a las funciones afines. Esto es incorrecto a un nivel superior, pero para este curso, podemos llamarlas de los dos modos. Es decir, para nosotros funciones lineales y afines son la misma cosa, una expresión del tipo  y = m·x + n.

Notar que si n = 0, obtenemos y = m·x, que es lo que habíamos llamado propiamente función lineal (o de proporcionalidad directa).



DE LA EXPRESIÓN ALGEBRAICA A LA GRÁFICA:
Para representar una función afín, disponemos de  dos métodos:

Método I:  Elaboramos una tabla de valores, a partir de la expresión dada, y representamos los puntos obtenidos, tal  y como vimos en lecciones anteriores.

Método II:   Determinamos la pendiente de la recta, y trazamos una recta con esa pendiente que corte al eje vertical Y, en el punto de coordenadas (0,n)

Como este segundo método es más novedoso, leed el siguiente ejemplo de vuestro libro, que está bastante bien explicado:

Fijaos como la primera recta (a) y = 2x-5 tiene pendiente m=2, y pasa por el punto (0, -5)
La segunda recta (b)  y = -3x + 4,  tiene pendiente m= -3, y pasa por el punto (0,4).
La tercera recta (c)  y = 2/3 x + 2, tiene pendiente  m = 2/3 y pasa por el punto (0,2)
Recordando como se dibuja la pendiente, es fácil completar las gráficas a una línea recta.


DE LA GRÁFICA A LA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Podemos plantearnos el problema contrario. Es decir, nos dan una gráfica, y  nosotros tenemos que determinar la expresión algebraica o analítica de la función. Esto es bastante más sencillo, porque basta determinar la pendiente (formando triángulos que determinen cuando asciende o desciende la recta en vertical entre lo horizontal) y la ordenada en el origen.

Mirad el ejemplo que aparece en la página 267 de vuestro libro:

Fijaos que la recta roja (r) corta el eje vertical en el punto (0,-1). Luego  n = -1.
La recta verde (s) pasa por el punto (0,6), por lo que  n= 6.
Las pendientes se determinan como ya vimos, y tenéis ahí explicado.

Para comprobar si habéis comprendido bien esta parte,  vamos a por la primera tarea del día.


TAREA 1:  Realiza en tu cuaderno los ejercicios 1 y 2 de la página 267.

(Una vez tengas realizados estos ejercicios, continuamos...)



FUNCIÓN CONSTANTE
Una función es constante si es de la forma  y = k, siendo k un número arbitrario. Es decir, el valor de la variable  "y" no depende de la variable independiente "x".
La representación gráfica de este tipo de funciones, es una recta horizontal que pasa por el punto (0,k)

Ejemplos: Son funciones constantes expresiones de la forma:
a)  y = 3            b) y = -4              c)  y = 5/2                d) y = 0               e)  y = -2.5

Todas ellas son rectas horizontales y paralelas al eje X. El eje X es precisamente la recta y=0.

Copia en tu cuaderno lo que pone en tu libro:

Es decir, la función y =3 es la recta horizontal que pasa por el punto (0,3). La función y = -4 es la recta horizontal que pasar por el punto (0, - 4). Ambas son funciones constantes, porque su valor no depende de la variable independiente "x".


TAREA 2: Realiza en tu cuaderno los ejercicios del 1 al 4 de la página 268, sobre funciones constantes.

Verás que estos ejercicios son bastante sencillos. Creo que es suficiente por hoy. La semana próxima haremos un pequeño repaso de lo más importante de este tema.

Como siempre, una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo:   fedematesxxi@gmail.com

  Este correo también lo tenéis disponible para dudas.

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Próxima sesión: Lunes 4 de Mayo de 2020.