Matemáticas 2ºESO: CLASE 21: El teorema de Pitágoras.

Buenos días!

Hoy vamos a comenzar un tema nuevo. Dejamos atrás la parte de funciones y gráficas y vamos a dedicar lo que nos resta de curso a los temas de Geometría. Como tampoco tenemos mucho tiempo, repasaremos lo básico de cada tema, con intención de llegar a aprender a calcular áreas y volúmenes de los principales cuerpos geométricos.

Tenéis que buscar el volumen II de vuestro libro de Matemáticas, para continuar por donde lo dejamos. Abrid el libro por la página 178, correspondiente al tema 9, el cuaderno por donde corresponda, y cuando estéis preparados, comenzamos...

1. ¿QUÉ ES LA GEOMETRÍA?

La Geometría es la rama de las Matemáticas que se ocupa del estudio de las formas en el plano o en el espacio. La palabra geometría, procede del griego "geo", que significa Tierra, y "metría", osea medir. Es decir, la geometría originariamente se encargaba de medir la tierra, y es en efecto lo que sucedió.

Hace muchos años, en el Antiguo Egipto, las crecidas del Nilo provocaban que se perdieran los límites de las zonas de cultivo, que se encontraban a sus orillas. Pensad que en el desierto no hay apenas agua, y para cultivar, hay que estar cerca de un buen manantial, lago o río, con el fin de regar las cosechas. Cuando el Nilo se desbordaba, los agricultores de la época tenían que volver a reconstruir las zonas dedicadas al cultivo, midiendo nuevas parcelas. Se trataba por tanto de medir de nuevo la tierra, con el fin de hacer un reparto justo de las mismas. A los que medían la tierra se les llamaba los geómetras, de ahí el nombre.

La geometría ha avanzado mucho desde entonces. Pero sigue estudiando los mismos objetos: puntos, rectas, planos.... además todo esto nos viene dado por la Naturaleza, como veremos.

Antes de nada, vais a necesitar nuevas herramientas, porque para construir la geometría, como mínimo necesitamos una regla y un compás. Pero hay algunas más que os detallo a continuación.

2. HERRAMIENTAS DE DIBUJO.

Lápiz (nº 2 ) y goma de borrar.
Regla (de 30 cm)
Compás.
Escuadra.
Cartabón.
Semicírculo graduado.

Al menos debéis tener a mano en vuestro escritorio una regla, un compás, y un semicírculo graduado para dibujar ángulos. Los dibujos se hacen siempre a lápiz, y sólo cuando esté correcto, lo podemos repasar con el bolígrafo o un rotulador. Debéis acostumbraros a usarlos siempre que tengáis que hacer cualquier figura geométrica, ok?

Lo que no tengo muy claro es si sabéis la diferencia entre una escuadra y un cartabón. Así que os lo propongo como primera tarea del día, que debéis realizar en el cuaderno.

TAREA 1: Indica la diferencia entre una escuadra y un cartabón. ¿Para qué se utilizan cada uno de estos instrumentos de dibujo?

(Una vez hecho el ejercicio, continuamos...)

3. EL TEOREMA DE PITÁGORAS

Antes de comenzar con el teorema, debéis recordad como se clasifican los diferentes tipos de triángulos, en función de cómo son sus lados.

Clasificación de triángulos.

Los triángulos se pueden clasificar de dos maneras: según como sean sus lados, o como sean sus ángulos.

Según sus lados:

Equilátero: es el triángulo que tiene todos sus lados iguales.

Isósceles: es el triángulo que tiene dos lados iguales y uno desigual.

Escaleno: es el triángulo que tiene todos sus lados distintos.

Según sus ángulos interiores:

Rectángulo: es el que posee un ángulo recto, y los otros dos agudos.

Obtusángulo: es el que posee un ángulo obtuso y los otros dos agudos.

Acutángulo: es el que posee sus tres ángulos agudos.

Se pueden dar combinaciones de ellos. Por ejemplo un triángulo puede ser rectángulo e isósceles. O bien obtusángulo y escaleno. El Teorema de Pitágoras se refiere sólo a triángulos rectángulos.

En todo triángulo rectángulo, siempre hay un lado que es mayor que los otros dos. Ese lado se denomina hipotenusa, y como convenio de notación lo señalaremos con la letra a.

Los otros dos lados son más cortos, y por ser cortos, se denominan catetos. Los catetos se designan por las letras b y c.

A veces no resulta fácil saber cuál es la hipotenusa, y cuáles los catetos. Recuerda este truco:

la hipotenusa es siempre el lado opuesto al ángulo de 90º.

Los otros dos lados serán los catetos, y da igual llamar a uno b y al otro c, o viceversa.

Pues bien, si tenemos todo esto claro, ya estamos en condiciones de enunciar el famoso teorema que puedes encontrar en la página 178 de tu libro de texto.

"En un triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

Recuerda: Si el triángulo no es rectángulo, el teorema de Pitágoras no se puede aplicar.

Existen dos tipos de problemas relacionados con el teorema. O bien nos dan los catetos y tenemos que calcular la hipotenusa, o bien nos dan la hipotenusa y un cateto, y tenemos que calcular el otro cateto. Os dejo un par de ejemplos que debéis copiar en vuestro cuaderno, que os pueden servir para aclarar ideas.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Fijaos que cuando se pide la hipotenusa, se suman los cuadrados de los catetos. Cuando se pide un cateto, se restan los cuadrados. Eso es lógico, porque los catetos miden siempre menos que la hipotenusa. Para practicar ésto, vamos a por la segunda tarea del día.

TAREA 2: Realiza en tu cuaderno el ejercicio 1 de la página 180, sobre el Teorema de Pitágoras.

(Una vez realizada la tarea continuamos...)

4. EL RECÍPROCO DEL TEOREMA DE PITÁGORAS.

Podemos pensar ahora a la inversa. Suponed que nos dan los tres lados de un triángulo cualquiera, por ejemplo a =5, b = 4 y c =3.
La pregunta que nos hacemos es: ¿será un triángulo rectángulo?

Por suerte, podemos saber el tipo de triángulo sin dibujarlo, simplemente haciendo unos pocos cálculos. Esto es lo que se conoce como recíproco del teorema de Pitágoras.

Si la hipotenusa (a) al cuadrado coincide con la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces podemos afirmar que se trata de un triángulo rectángulo. Si es mayor, será un triángulo obtusángulo. Y si es menor será un triángulo acutángulo.

En el ejemplo de arriba tendríamos: 4² + 3² = 16 + 9 = 25 = 5²

por tanto se trata de un triángulo rectángulo!

A la terna (3,4,5) también se le llama una terna pitagórica.

A modo de resumen tenemos lo siguiente: