CLASE 14: Representación de gráficas.

Buenos días!

Volvemos un día más a nuestras clases de Matemáticas on-blog. En la clase de hoy vamos a aprender a representar gráficas de funciones dadas mediante expresiones algebraicas. No es nada complicado pero debéis prestar atención a los ejemplos que os voy a ir mostrando. Recordad que tanto las tablas como las gráficas deben realizarse con regla, para que quede todo bien presentado en el cuaderno. Además es aconsejable que todos los ejemplos los vayáis pasando al cuaderno, para comprender bien todos los pasos.

Así que coged vuestro cuaderno, abridlo por donde corresponda, poned la fecha de hoy, y cuando estéis preparados comenzamos...

REPRESENTACIÓN  GRÁFICA  DE  FUNCIONES.

Una función y=f(x) viene dada bien mediante una gráfica (como vimos en lecciones anteriores), bien mediante una tabla de valores, o bien mediante una expresión algebraica. En cualquiera de los tres casos, debemos saber pasar de uno a otro caso, lo cual no es siempre fácil. 

En la clase de hoy vamos a partir de una expresión algebraica. Nuestro trabajo consiste en elaborar una tabla de valores, dando a  "x" valores convenientes con el fin de representar los puntos obtenidos en un diagrama de ejes cartesiano.  Al unir dichos puntos, no siempre se obtiene una línea recta. En  ocasiones los puntos representados se unen formando una curva, lo que da lugar a diferentes tipos de funciones.

Para comprender todo esto veamos algunos ejemplos que debéis copiar en vuestro cuaderno.

EJEMPLO 1:  Representar gráficamente la función   y = 2x - 1

En primer lugar elaboramos una tabla de valores. Los valores de la primera fila son arbitrarios, pero siempre es recomendable tomar números alrededor del cero. 

x	- 2	- 1	0	1	2
y

Para calcular los correspondientes valores de y, basta con efectuar los cálculos, a partir de la expresión algebraica:

Si x = -2, entonces  y = 2· (-2) - 1 = - 4 - 1 = -5

Si x= - 1, entonces  y = 2 · (-1) -1  = - 2 - 1 = -3

Si x = 0 , entonces  y = 2· 0  - 1 = 0  - 1 = -1

Si x= 1 , entonces  y = 2 · (+1) -1  = + 2 - 1 = 1

Si x = +2, entonces  y = 2· (+2) - 1 = + 4 - 1 = +3

De manera que la tabla queda en la forma:

x	- 2	- 1	0	1	2
y	- 5	- 3	- 1	1	3

Ahora dibujamos los ejes de coordenadas y representamos los puntos obtenidos. Por ejemplo el primer punto A(-2, -5) se dibuja partiendo del origen y desplazándonos dos unidades hacia la izquierda y cinco hacia abajo. El segundo punto B(-1, -3), desplazándonos desde el origen una unidad hacia la izquierda y tres hacia abajo... y así sucesivamente.

Si unimos estos puntos, obtenemos la gráfica de la función. Observamos que están todos alineados, por lo que se trata de una función lineal.

Observar que la recta dibujada en rojo pasa por el punto (0,-1) y tiene cierto grado de inclinación. Veremos más adelante que esto define completamente este tipo de funciones.

EJEMPLO 2:  Representar gráficamente la función   y = 3 - x 

Vamos a proceder como en el caso anterior. Primero elaboramos una tabla de valores, y luego los representamos, uniendo los puntos obtenidos en la tabla. Podemos tomar como valores de la variable independiente "x" los mismos que en el caso anterior: 

x	- 2	- 1	0	1	2
y

Para calcular los correspondientes valores de y, basta con efectuar los cálculos, a partir de la expresión algebraica (llevad cuidado con los signos!)

Si x = -2, entonces  y = 3 - (-2) =  3 + 2 = 5.

Si x= - 1, entonces  y = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4. 

Si x = 0 , entonces  y = 3 - (-0) = 3 + 0 = 3. 

Si x= 1 , entonces  y = 3 - 1 = 2.

Si x = +2, entonces  y = 3 - 2 = 1.

De manera que la tabla queda en la forma:

x	- 2	- 1	0	1	2
y	5	4	3	2	1

Observad que si seguimos en la tabla, para x=3, obtendríamos y=0. Ahora dibujamos los ejes de coordenadas y representamos los puntos obtenidos. Por ejemplo el primer punto A(-2, +5) se dibuja partiendo del origen y desplazándonos dos unidades hacia la izquierda y cinco hacia arriba. El segundo punto B(-1, 4), desplazándonos una unidad hacia la izquierda y cuatro hacia arriba... y así sucesivamente. El punto (0,3) se encuentra sobre el eje vertical OY.

Uniendo los puntos obtenidos, obtenemos la gráfica de la función, que nuevamente es una línea recta, de pendiente negativa. Si fuera una cuesta, pensaríamos que vamos cuesta abajo, no?

EJEMPLO 3:  Representar gráficamente la función   y = (2+x)/3

Siguiendo los pasos indicados, debemos elaborar primero la tabla de valores. Pero por la forma que tiene la función, si no queremos trabajar con decimales, vamos a ser algo "pillos" y le vamos a dar valores a la "x" de manera que no salgan números con decimales. Esto siempre se puede hacer, por que a la variable independiente le podemos dar los valores que queramos. Si pensáis un poco, veréis que los números más oportunos en este caso son:

x	- 5	- 2	1	4	7
y

Para calcular los correspondientes valores de y, basta con efectuar los cálculos, a partir de la expresión algebraica (llevad cuidado con los signos!)

Si x = -5, entonces  y = (2 + (-5))/3  =  -3 / 3 = -1.

Si x= - 1, entonces  y =  (2 + (-2))/3  =  0 / 3 = 0..

Si x = 0 , entonces  y =  (2 + 1 ))/3  =  +3 / 3 = +1.

Si x= 1 , entonces  y =  (2 + 4 )/3  =  6 / 3 = +2.

Si x = +2, entonces  y =  (2 + 7 )/3  =  9 / 3 = +3.

De manera que la tabla resultante es:

x	- 5	- 2	1	4	7
y	- 1	0	1	2	3

A continuación, representamos  los puntos en un diagrama OXY de ejes cartesianos, para obtener:

Uniendo los puntos, observamos que están alineados nuevamente,  y obtenemos así la gráfica de la función pedida. Observad que es una recta con menor inclinación (menor pendiente).

EJEMPLO 4:  Representar gráficamente la función  y =  1 - x²

En los casos precedentes todos los puntos se encuentran sobre una línea recta. Vamos a ver, con este ejemplo, que esto no siempre es así. Y para verlo procedemos del mismo modo que antes. Damos valores a "x", elaboramos una tabla de valores y luego representamos los puntos obtenidos.

x	- 2	- 1	0	1	2
y

Para calcular los correspondientes valores de y, basta con efectuar los cálculos, a partir de la expresión algebraica (llevad cuidado con los signos!)

Si x = -2, entonces  y = 1 - (-2)² = 1 - 4 = - 3.

Si x= - 1, entonces  y = 1 - (-1)² = 1 - 1 = 0.

Si x = 0 , entonces  y = 1 - 0² = 1.

Si x= 1 , entonces  y = 1 - 1² = 0.

Si x = +2, entonces  y = 1 - 2² = 1 - 4 = - 3

De manera que la tabla queda en la forma:

x	- 2	- 1	0	1	2
y	- 3	0	1	0	-3

Representando los puntos obtenidos, son A(-2,-3), B(-1,0),  C(0,1),  D(1,0) y E(2,-3), tendremos:

Vemos como ahora los puntos no se encuentran sobre una línea recta. Si los unimos, aparece una forma curvilínea, denominada parábola.

COPIA EN TU CUADERNO:

RECUERDA:

Observa este ejercicio y como se obtiene la tabla de valores y la gráfica de la función. ¿Cómo se denomina la función obtenida?

Si has comprendido esta parte vamos a por la tarea del día.

TAREA: Realizar los ejercicios  1, 2, 3 y 4 de la página 261 del libro de Matemáticas (volumen III), sobre representación gráfica de funciones, indicando el nombre de la función obtenida.

(Recuerda usar regla para la elaboración tanto de las tablas como de los gráficos)

De momento es todo por hoy. El próximo día aprenderemos las propiedades de la función lineal, para acabar el tema. Aprovechad el tiempo y estudiad mucho!

Como siempre, una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo:   fedematesxxi@gmail.com

  Este correo también lo tenéis disponible para dudas. Gracias por la atención. 

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Próxima sesión: Viernes 24  de Abril de 2020.

CLASE 13: Interpretación de gráficas.

Buenos días!

Comienza una nueva semana, y como ya sabéis, el curso continua su ritmo hasta Junio. Confiamos que en próximas semanas, os dejen salir un poco a pasear, con el fin de que no se os haga tan pesado el confinamiento. Nosotros, vamos a continuar con nuestras sesiones de Matemáticas on-blog.

Como veníamos haciendo, iremos publicando lecciones días alternos, durante la semana, con el fin de que podáis seguir el ritmo de las explicaciones, y cada uno vaya estudiando a su ritmo, ok?

Recordad que la semana pasada comenzamos el tema de funciones.  Por tanto, pegamos un salto en el temario y nos fuimos directamente al tema 13, que aparece en el volumen III de vuestro libro de Matemáticas. Una de las cosas más interesantes de las Matemáticas es la capacidad que tiene de hacer predicciones. Y para eso es necesario comprender bien cómo se interpreta una gráfica. Eso es de lo que trata la clase de hoy: interpretación de gráficas.

Cuando estéis preparados, abrid vuestro cuaderno por donde corresponda, el libro por la página 259 y comenzamos...


1. INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS
Fijaos en la siguiente imagen:

En ella se observa como varía la altura del agua en función del tiempo. Como comprobarás, al principio la altura del agua sube más despacio que al final, porque la base de recipiente es mucho más ancho en su base. Lo que aparece a la izquierda es la forma que tiene el recipiente y a la derecha,  la gráfica de dicha función que relaciona la altura del agua (y) en función del tiempo de llenado (x).

Sería más interesante que nos dieran sólo  la gráfica y nosotros tuviéramos que dibujar la forma que tiene la vasija. En eso consiste la interpretación de una gráfica: dada la gráfica de una función y=f(x), establecer conclusiones acerca del proceso que modeliza.


Esto puede parecer complicado, pero no lo es tanto, y para verlo vamos a ver unos pocos ejemplos, antes de proponeros la tarea del día.

Ejemplo 1 (Evolución del nivel de un embalse) : Observa la siguiente gráfica.

Vemos como va variando la cantidad de agua a lo largo del año, expresado en términos del porcentaje de agua que hay en el embalse (así un embalse al 100% estaría lleno).  De la gráfica podemos sacar algunas conclusiones. Por ejemplo que los niveles más bajos se producen durante la época de verano, y los más alto en primavera (que es cuando se producen los deshielos de las montañas o las lluvias de temporada). Esto permite estimar la cantidad de agua disponible para todo el año, en función del mes en el que nos encontremos.


Ejemplo 2:  (Evolución de la temperatura diaria) : Observa la siguiente gráfica.

Si te fijas en el eje horizontal (eje de abscisas) observarás la hora del día, de 0 a 24 h. Esta es la variable independiente (el tiempo). Si nos fijamos en el eje vertical, vemos que está representada la temperatura en grados centígrados. Esta es la variable dependiente, porque la temperatura depende de la hora del día.
Evidentemente la temperatura va creciendo conforme pasan las horas, y va aumentando hasta las 14:00h (pasado el mediodía) y luego comienza a descender  hasta la medianoche (24:00)
La máxima temperatura se registra a las 14:00h con 20ºC y la mínima  a las 8:00h de la mañana, y a las 24:00 (12 de la noche), con 5ºC. Podríamos pensar que puede tratarse de un día de finales de invierno o comienzo de la primavera, teniendo en cuenta las oscilaciones observadas. Aunque bien es cierto que esto depende también de la latitud y  del país donde nos encontremos.

Cuestión: Si te fijas bien, hay una temperatura que se repite tres veces a lo largo del día, ¿sabrías decir cual es?

Lo mejor que podemos hacer es practicar todo ésto con ejercicios. Así que no se trata de explicar mucho más, sino que os ayudéis de vuestra "capacidad de observación matemática" para resolver la siguientes tareas.

TAREA 1: Realiza en tu cuaderno el ejercicio 1 de la página 259,  para practicar la interpretación de gráficas.

TAREA 2: Lee detenidamente los ejemplos sobre gráficas que aparecen en la página 260 y realiza en tu cuaderno los  ejercicios 1 y 2 de la página 260,  para construir la gráfica a partir de una tabla de valores.

(Recuerda usar regla para la elaboración tanto de las tablas como de los gráficos)

De momento es todo por hoy. El próximo día aprenderemos a representar funciones a partir de su expresión algebraica. Aprovechad bien el tiempo y estudiad mucho!

Como siempre, una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo:   fedematesxxi@gmail.com

  Este correo también lo tenéis disponible para dudas. Gracias por la atención. 

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Próxima sesión: Miércoles 22 de Abril de 2020

CLASE 12: Funciones y gráficas.

Buenos días!

En primer lugar, espero que estéis todos bien, y con energías para comenzar un nuevo día.  Tal como os comenté en la última entrada, vamos a continuar subiendo lecciones de nuestro curso de  Matemáticas on-blog. 

Recordad que lo último que estuvimos viendo fueron los sistemas de ecuaciones, y sus  diferentes métodos de resolución. Esta semana vamos a comenzar un tema nuevo. Pero antes de proseguir con los temas que tocan del libro, correspondientes a la parte de geometría,  vamos a hacer una  pequeña variación. Debéis buscar el volumen III de vuestro libro de Matemáticas, porque nos vamos directamente al tema 13: Funciones.
Cuando estéis preparados, comenzamos...


1. FUNCIONES Y GRÁFICAS
Cuando vamos a un supermercado y compramos naranjas, sabemos que el precio de la bolsa de naranjas depende de la cantidad de kilos que compremos.  A más kilos más naranjas en la bolsa, y mayor será la cantidad de dinero a pagar.  Ya vimos en temas anteriores que se tratan de magnitudes directamente proporcionales, y por tanto hay una relación entre ellas, a más kilos, más precio.

Esto sucede también, con muchas otras magnitudes. Por ejemplo, la temperatura que hace depende de la hora del día. No es lo mismo mirar el termómetro a las 12:00h del mediodía que a las cuatro de la madrugada. Evidentemente la temperatura varía en función de la hora del día considerada. Pero ya no es directamente proporcional. Es decir, no es cierto que a mayor hora del día, mayor temperatura, al menos no siempre...

Si vais a la página 257 de vuestro libro, encontraréis en la parte superior la siguiente imagen:

Observad que aparecen dos gráficas con las que se establece una relación entre la presión y la temperatura de un buceador en función de los metros de profundidad a los que se encuentre, en relación a la superficie. En el eje horizontal está representada la profundidad en metros, y en el eje vertical la presión /temperatura que experimenta el buceador.  De la primera gráfica se deduce que a mayor profundidad, la presión bajo el agua es mayor. Y en la segunda gráfica se observa que la temperatura va variando de un modo extraño en relación a la profundidad...

Esto son dos ejemplos de funciones. Pero antes de continuar vamos a realizar la primera tarea del día:

TAREA 1: Observando las gráficas del ejemplo anterior (página 257), responde en tu cuaderno las siguientes cuestiones:
a) ¿Cuál es la presión a 10, 20, 30, 40 o 50 metros de profundidad?  ¿Podemos decir que a más profundidad hay mayor presión?
b) ¿Qué temperatura tiene el agua a 10, 20, 30, 40 y 50 metros de profundidad. ¿Podemos decir que a más profundidad mayor temperatura?
c) A cierta profundidad el buceador pasó por una corriente de agua fría. ¿Sabrías decir a qué profundidad ocurrió?
d) ¿Qué sucede con la temperatura bajo el agua entre 30 y 40 metros de profundidad?

(Una vez hayas resuelto la tarea en tu cuaderno   continuamos...)


Como has podido comprobar existe una relación funcional entre las magnitudes Profundidad/Presión, y Profundidad/Temperatura. Esa relación de funcionalidad se puede representar gráficamente, y esa imagen nos proporciona una idea bastante precisa de lo que acontece en el experimento.

 Es decir, la relación funcional entre dos magnitudes puede interpretarse mediante una gráfica. Esa es la segunda tarea que proponemos hoy.


TAREA 2:  Dadas las siguientes relaciones funcionales, elabora una gráfica que represente adecuadamente la relación entre las magnitudes.
a) El precio de una bolsa de naranjas en función del peso.
b) La presión atmosférica en función de la altura a la que subamos.
c) La temperatura en un determinado lugar en función de la hora del día.
d) Distancia de un caballo a un poste al que se encuentra atado, mientras camina dando vueltas alrededor del poste, manteniendo la cuerda siempre tirante.
e) Altura de una piedra lanzada hacia arriba en función del tiempo.
f) Nivel del agua de un pantano en función del mes del año.

(Ayuda: Las gráficas asociadas a cada uno de los apartados son precisamente las que aparecen al final de la página 257 de tu libro)



CONCEPTO DE FUNCIÓN.
Observa el siguiente ejemplo:

COPIA EN TU CUADERNO:

Observa que para que una gráfica se corresponda a una función, al trazar una línea vertical, dicha recta sólo corta a la función en un único punto. Una circunferencia, por ejemplo, nunca puede ser la representación de una gráfica, como se puede comprobar en la imagen anterior. Ni un curva con forma de S.  En siguientes lecciones aprenderemos a interpretar gráficas y a relacionarlas con expresiones algebraicas... pero eso seré mejor otro día. Os dejo la última tarea.

TAREA 3: Realiza en tu cuaderno los ejercicios 1, 2 y 3 de la página 258, sobre funciones y gráficas.

(Una vez hayas resuelto las tres tareas del día, debes enviarlas para su corrección. No olvides copias los enunciados completos en tu cuaderno. )

Como siempre, una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo:   fedematesxxi@gmail.com

  Este correo también lo tenéis disponible para dudas. Gracias por la atención. 

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Próxima sesión: Lunes 20 de Abril de 2020

CLASE 11: Repasando los sistemas de ecuaciones.

Buenos días a tod@s!

Tal como indicamos en la última entrada del blog, la clase de hoy es sólo de repaso. Si habéis estado siguiendo las explicaciones previas, los contenidos que hemos tratado a lo largo del tema 8 han sido:

• Qué es un sistema de ecuaciones.
• Método de sustitución.
• Método de reducción.
• Método gráfico.
• Método de igualación.
• Resolución de problemas a partir de sistemas con dos incógnitas.

Hoy toca repasar un poco todo. Os recuerdo que hasta la próxima semana no habrá mas tareas. Cada uno debe ir siguiendo las lecciones a su ritmo, preguntando por correo las dudas que os vayan surgiendo.  También, procurad no acumular muchas tareas sin enviar. Es preferible que hagáis dos o tres y enviarlas, que todas de golpe;  cuesta mucho más corregirlas y es preferible para vosotros, si no están bien, que las vayáis corrigiendo sobre la marcha.

Hoy la tarea es única. 

TAREA:  Realizar en el cuaderno (copiando los enunciados y con buena letra) los ejercicios del 1 al 10, de la Autoevaluación de la página 175

  (Esta tarea se calificará sobre 10 puntos.)

 La próxima semana comenzaremos un tema nuevo, sobre representación gráfica de funciones.

Como siempre, una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo:   fedematesxxi@gmail.com

  Este correo también lo tenéis disponible para dudas. Gracias por la atención. 

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Próxima sesión: Miércoles 15  de Abril de 2020

CLASE 10: Método de igualación.

Buenos días!

Espero estéis todos bien en casa. Como sabréis, hoy es Lunes Santo,  es decir, comenzamos la  Semana Santa. En nuestro centro, teníamos programado dar clase sólo  lunes y martes y descansar el resto de la semana, como es de rigor. 

Debido a la situación en la que nos encontramos, estaba pensando que también necesitamos desconectar un poco de las tareas diarias. Así que vamos a hacer lo siguiente:
hoy lunes  os voy a explicar el último método para resolver sistemas de ecuaciones: el método de igualación. Os propondré alguna tarea sencilla y el miércoles subiré una última lección para repasar todo lo explicado en este tema de sistemas de ecuaciones.  Con eso   descansamos de Matemáticas  hasta el Miércoles 15  de Abril,  y damos tiempo a que los más atrasados se vayan poniendo al día, ok?

De manera que sentaos bien en vuestro escritorio,  abrid el libro de Matemáticas por la página 164,  el cuaderno por donde corresponda, y cuando estéis preparados, comenzamos...

MÉTODO DE IGUALACIÓN

El método de igualación para resolver un sistema de ecuaciones consiste en despejar una de las incógnitas de cada una de las ecuaciones del sistema, con el fin de igualarlas y obtener una ecuación de primer grado con una sola incógnita que debemos resolver.
Finalmente se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones despejadas al inicio del ejercicio.

Los pasos a seguir son los siguientes:

• Despejar "y" de la primera ecuación.
• Despejar "y" de la segunda ecuación.
• Igualar las expresiones obtenidas.
• Resolver la ecuación de primer grado resultante.
• Calcular el valor de "x".
• Calcular el valor de "y", sustituyendo el valor de "x" obtenido.
• Recuadrar las soluciones, expresadas de manera ordenada (x,y).

Veamos varios ejemplos que debéis copiar en el cuaderno para ir comprendiendo cada paso:

Ejemplo 1:   Resuelve por el método de igualación el sistema:      3x + y = 5

                                                                                                         2x + 3y = 8

En primer lugar despejamos "y" de la primera ecuación:   y = 5 - 3x

En segundo lugar despejamos "y" de la segunda ecuación.    y = (8 - 2x) / 3   (partido todo por 3)

Igualamos las expresiones obtenidas.

                                                                   5 - 3x = (8 - 2x) / 3

Pensad que toda la expresión (8-2x) está partida por 3

Quitamos denominadores y obtenemos:      15 - 9x = 8 - 2x
Transponemos términos.                                -9x + 2x = 8 - 15
Reducimos términos semejantes:                      - 7x = -7
Despejamos el valor de x:                                      x =  -7 / -7 = + 1.
Obtenemos el valor de x.                                       x = +1.

Ahora calculamos el valor de "y" sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones del principio. Por ejemplo podemos coger:  y  = 5 - 3x. Cambiando el valor de "x" por  1, obtendremos:

y = 5 -  3 · 1 = 5 - 3 = 2

Las soluciones del sistema son:     x = +1,    y = +2

Nota: Podíamos haber cogido la otra ecuación para calcular "y" y hubiera salido lo mismo. Es decir, si tomamos la segunda ecuación: y = (8-2x)/3, y sustituimos "x" por su valor 1, obtendríamos:

y = (8 - 2 · 1 ) / 3 = (8-2) / 3 = 6/3 = 2.

como antes.

Ejemplo 2:  Resuelve por el método de igualación el sistema:     2x + 3y = 11

                                                                                                        3x - 4y =  - 9

En primer lugar despejamos "y" de la primera ecuación:   y = (11 -2x) / 3  (partido por 3)

En segundo lugar despejamos "y" de la segunda ecuación.  y = ( - 9 -3x) / (-4) = (9 + 3x) / 4  

 (donde hemos cambiado todos los signos del numerador y del denominador)

Igualamos las expresiones obtenidas.

                                                                   (11 - 2x) / 3  = (9 + 3x) / 4

Pensad que toda la expresión (11 -2x) está partida por 3 y (9 + 3x) está partida toda por 4.

Quitamos denominadores multiplicando en cruz:      4·(11 - 2x) = 3 ·(9 + 3x)
Quitamos paréntesis:                                                   44 - 8x = 27 + 9x
Transponemos términos.                                                -9x - 8x = 27 - 44
Reducimos términos semejantes:                                        -17x = -17
Despejamos el valor de x:                                             x =  -17 / -17 = + 1.
Obtenemos el valor de x.                                                         x = +1.

Ahora calculamos el valor de "y" sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones del principio. Por ejemplo podemos coger:  y  = (11 - 2x) / 3. Cambiando el valor de "x" por  1, obtendremos:

y = (11 - 2·1) / 3 = 9 / 3 = 3.

Las soluciones del sistema son:     x = +1,    y = +3

Nota: Cuando al igualar las expresiones tenemos denominadores en los dos miembros, siempre funciona el método de multiplica en cruz, como en el ejemplo. Es lo mismo que efectuar el mínimo común múltiplo y calcular los numeradores correspondientes.


Veamos el ejercicio resuelto que nos propone el libro (página 164) (éste no hace falta copiarlo):

Finalmente se comprueban la soluciones obtenidas, en cada una de las ecuaciones del sistema. No es muy complicado, verdad?  Si habéis entendido todos los pasos,  vamos a practicarlo un poco:

TAREA 1:  Realizar en el cuaderno los ejercicios 3 y 4 de la página 164, 

(Nota: podéis comprobar vosotros mismos si las soluciones obtenidas son correctas, al final del ejercicio.)

De momento es todo por hoy. El miércoles haremos un repaso del tema para finalizar la unidad. Aprovechad el tiempo....

Como siempre, una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo:   fedematesxxi@gmail.com

  Este correo también lo tenéis disponible para dudas. Gracias por la atención. 

--------------------------    FIN   DE  LA   CLASE  --------------------------------

Próxima sesión: Miércoles 8  de Abril de 2020

CLASE 9: Repasando el método gráfico.

Buenos días!

Vamos a continuar con nuestras clases de Matemáticas on-blog. Como ya os habréis dado cuenta, las clases las vamos alternando durante la semana, con el fin de que os organicéis el horario de estudio del mejor modo.  

La clase de hoy  la vamos a dedicar a resolver sistemas de ecuaciones por el método gráfico. Os recomiendo que busquéis una regla, porque necesitamos dibujar rectas, ejes de coordenadas y puntos, para representar las soluciones.

En la última lección aprendimos a representar ecuaciones lineales con dos incógnitas. Hoy vamos a retomarlo donde lo dejamos, con el fin de terminar de explicar el método.

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS: Método gráfico.
Para resolver un sistema de ecuaciones por el método gráfico, debemos seguir los siguientes pasos.

1.  Se despeja la incógnita  "y" de cada una de las ecuaciones.
2. Se realiza una tabla de valores (x,y) donde x toma valores arbitrarios.
3. Se representan los puntos en un sistema de ejes coordenados.
4. Se unen los puntos para formar dos rectas.
5. Si las rectas se cortan, el punto de intersección es la solución del sistema.

Veamos un ejemplo práctico:

.

A veces, cuando se representan las rectas pueden pasar  que no se corten, es decir, se obtengan rectas  paralelas, o bien sean la misma. Cada uno de los casos tiene una interpretación diferente.

TAREA 1; Realiza los ejercicios 1 y 2 de la página 162, para para practicar el método gráfico.

(Nota: cuando tengaís que darle valores a la x, podéis  darle los valores -2, -1, 0 , 1, 2... tanto positivos como negativos.)

Como siempre, una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo:   fedematesxxi@gmail.com

  Este correo también lo tenéis disponible para dudas. Gracias por la atención. 

--------------------------    FIN   DE  LA   CLASE  --------------------------------

Próxima sesión: Lunes 6   de Abril de 2020

CLASE 8: Problemas y método gráfico

Buenos días!

Esta semana vamos a continuar con las aplicaciones de los sistemas de ecuaciones. La clase de hoy la vamos a dividir en dos partes. En la primera haremos un repaso de los problemas, para practicar un poco más esta parte. En la segunda os voy a explicar el método gráfico, que aunque no es nada complicado,  lleva bastantes pasos, y al principio puede costar  un poco más... 

En cualquier caso, id leyendo con atención, y si os surge  alguna duda, tenéis a vuestra disposición el correo que aparece al final de cada entrada del blog. Comenzamos....

PARTE I:  Resolución de problemas con sistemas de ecuaciones.

TAREA 1: Realizar en el cuaderno los problemas del 15 al 19 de la página 171, razonando adecuadamente todo el proceso seguido.

Recordad que para resolver un problema mediante sistemas de ecuaciones debéis seguir los pasos indicados en la clase anterior (ver otra entrada del blog). Una vez tengáis realizada la tarea, recuadrando bien las soluciones obtenidas, continuamos...

PARTE II:   Método gráfico

El método gráfico es un método que permite resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, dibujando las ecuaciones. Y os preguntaréis, ¿es que se pueden dibujar ecuaciones?
La respuesta es que sí. Esto fue una genialidad de un filósofo francés denominado Descartes, que demostró que cualquier ecuación tiene asociado un dibujo (su gráfica) y al revés, todo dibujo, puede tener asociada cierta ecuación. 

Pasos para resolver un sistema por el método gráfico:

1.  Se despeja la incógnita  "y" de cada una de las ecuaciones.
2. Se realiza una tabla de valores (x,y) donde x toma valores arbitrarios.
3. Se representan los puntos en un sistema de ejes coordenados.
4. Se unen los puntos para formar dos rectas.
5. Si las rectas se cortan, el punto de intersección es la solución del sistema.

Como veréis son un montón de pasos, y no del todo claros. Para hacerlo más sencillo vamos a aprender hoy como dibujar ecuaciones, solamente.  Una vez entendamos ésto, el método se  comprende rápidamente.

Dibujando ecuaciones

Supongamos que tenemos la ecuación   2x + y = 5.  Despejamos y en función de x, de manera que tengamos   y= 5  - 2x, como en el método de sustitución.

Ahora hacemos una tabla de valores, donde ponemos en la x  valores inventados, próximos a cero:

x	-2	-1	0	1	2
y

Para calcular el correspondiente valor de y, debemos sustituir en la expresión : y = 5 - 2x.

Así, para  x = -2,  hacemos   y = 5  - 2 · (-2) = 5  + 4 = 9

x	-2	-1	0	1	2
y	9

Para x = -1, tendremos   y = 5 - 2 ·(-1) = 5 + 2 = 7 

x	-2	-1	0	1	2
y	9	7

Para x = 0, tendremos   y = 5 - 2 ·(0) = 5 + 0 = 5

x	-2	-1	0	1	2
y	9	7	5

Así vamos completando la tabla con el resto de valores hasta obtener:

x	-2	-1	0	1	2
y	9	7	5	3	1

Ahora dibujamos dos rectas perpendiculares, y efectuamos divisiones iguales entre ellas. Son los ejes de coordenadas donde vamos a representar los puntos de la tabla:

A la recta horizontal se le llama eje X ó eje de abscisas. Al eje vertical Y se le llama eje de ordenadas. Todos los puntos del plano se pueden representar en el plano, mediante sus coordenadas (x,y).

Fíjate bien en la imagen.

•  El punto azul se dibuja moviéndonos tres unidades a la derecha, partiendo siempre del origen y dos hacia arriba. Por eso sus coordenadas son (+3,+2).
• En cambio el punto rojo, se localiza, moviéndonos dos unidades hacia la izquierda (partiendo del origen) y tres hacia arriba). Sus coordenadas son (-2, +3)
• El punto verde se localiza moviéndonos una unidad hacia la izquierda (-1) y tres hacia abajo (-3). Luego sus coordenadas son (-1,-3)
• El punto amarillo se obtiene moviéndonos tres unidades hacia la derecha y dos hacia abajo, osea, tiene de coordenadas (+3, -2).

TAREA 2: Dibuja sobre unos ejes de coordenadas en tu cuaderno los puntos obtenidos en la tabla del ejemplo anterior:

A(-2, 9),     B(-1, 7),     C(0, 5)       D(1, 3)       E(2,1) 

y comprueba que los cinco puntos se encuentran alineados. Une los puntos en una misma línea recta. Esta es la recta que representa la ecuación  2x + y = 5. 

RECUERDA

TAREA 3: Realiza en tu cuaderno los ejercicios 5, 6 y 7 de la página 161,  para practicar  la representación de rectas en el plano. 

(Nota: cuando tengaís que darle valores a la x, podéis  darle los valores -2, -1, 0 , 1, 2... tanto positivos como negativos)

Como siempre, una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo:   fedematesxxi@gmail.com

  Este correo también lo tenéis disponible para dudas. Gracias por la atención. 

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Próxima sesión: Viernes 3  de Abril de 2020