CLASE 14: Representación de gráficas.

Buenos días!

Volvemos un día más a nuestras clases de Matemáticas on-blog. En la clase de hoy vamos a aprender a representar gráficas de funciones dadas mediante expresiones algebraicas. No es nada complicado pero debéis prestar atención a los ejemplos que os voy a ir mostrando. Recordad que tanto las tablas como las gráficas deben realizarse con regla, para que quede todo bien presentado en el cuaderno. Además es aconsejable que todos los ejemplos los vayáis pasando al cuaderno, para comprender bien todos los pasos.

Así que coged vuestro cuaderno, abridlo por donde corresponda, poned la fecha de hoy, y cuando estéis preparados comenzamos...

REPRESENTACIÓN  GRÁFICA  DE  FUNCIONES.

Una función y=f(x) viene dada bien mediante una gráfica (como vimos en lecciones anteriores), bien mediante una tabla de valores, o bien mediante una expresión algebraica. En cualquiera de los tres casos, debemos saber pasar de uno a otro caso, lo cual no es siempre fácil. 

En la clase de hoy vamos a partir de una expresión algebraica. Nuestro trabajo consiste en elaborar una tabla de valores, dando a  "x" valores convenientes con el fin de representar los puntos obtenidos en un diagrama de ejes cartesiano.  Al unir dichos puntos, no siempre se obtiene una línea recta. En  ocasiones los puntos representados se unen formando una curva, lo que da lugar a diferentes tipos de funciones.

Para comprender todo esto veamos algunos ejemplos que debéis copiar en vuestro cuaderno.

EJEMPLO 1:  Representar gráficamente la función   y = 2x - 1

En primer lugar elaboramos una tabla de valores. Los valores de la primera fila son arbitrarios, pero siempre es recomendable tomar números alrededor del cero. 

x	- 2	- 1	0	1	2
y

Para calcular los correspondientes valores de y, basta con efectuar los cálculos, a partir de la expresión algebraica:

Si x = -2, entonces  y = 2· (-2) - 1 = - 4 - 1 = -5

Si x= - 1, entonces  y = 2 · (-1) -1  = - 2 - 1 = -3

Si x = 0 , entonces  y = 2· 0  - 1 = 0  - 1 = -1

Si x= 1 , entonces  y = 2 · (+1) -1  = + 2 - 1 = 1

Si x = +2, entonces  y = 2· (+2) - 1 = + 4 - 1 = +3

De manera que la tabla queda en la forma:

x	- 2	- 1	0	1	2
y	- 5	- 3	- 1	1	3

Ahora dibujamos los ejes de coordenadas y representamos los puntos obtenidos. Por ejemplo el primer punto A(-2, -5) se dibuja partiendo del origen y desplazándonos dos unidades hacia la izquierda y cinco hacia abajo. El segundo punto B(-1, -3), desplazándonos desde el origen una unidad hacia la izquierda y tres hacia abajo... y así sucesivamente.

Si unimos estos puntos, obtenemos la gráfica de la función. Observamos que están todos alineados, por lo que se trata de una función lineal.

Observar que la recta dibujada en rojo pasa por el punto (0,-1) y tiene cierto grado de inclinación. Veremos más adelante que esto define completamente este tipo de funciones.

EJEMPLO 2:  Representar gráficamente la función   y = 3 - x 

Vamos a proceder como en el caso anterior. Primero elaboramos una tabla de valores, y luego los representamos, uniendo los puntos obtenidos en la tabla. Podemos tomar como valores de la variable independiente "x" los mismos que en el caso anterior: 

x	- 2	- 1	0	1	2
y

Para calcular los correspondientes valores de y, basta con efectuar los cálculos, a partir de la expresión algebraica (llevad cuidado con los signos!)

Si x = -2, entonces  y = 3 - (-2) =  3 + 2 = 5.

Si x= - 1, entonces  y = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4. 

Si x = 0 , entonces  y = 3 - (-0) = 3 + 0 = 3. 

Si x= 1 , entonces  y = 3 - 1 = 2.

Si x = +2, entonces  y = 3 - 2 = 1.

De manera que la tabla queda en la forma:

x	- 2	- 1	0	1	2
y	5	4	3	2	1

Observad que si seguimos en la tabla, para x=3, obtendríamos y=0. Ahora dibujamos los ejes de coordenadas y representamos los puntos obtenidos. Por ejemplo el primer punto A(-2, +5) se dibuja partiendo del origen y desplazándonos dos unidades hacia la izquierda y cinco hacia arriba. El segundo punto B(-1, 4), desplazándonos una unidad hacia la izquierda y cuatro hacia arriba... y así sucesivamente. El punto (0,3) se encuentra sobre el eje vertical OY.

Uniendo los puntos obtenidos, obtenemos la gráfica de la función, que nuevamente es una línea recta, de pendiente negativa. Si fuera una cuesta, pensaríamos que vamos cuesta abajo, no?

EJEMPLO 3:  Representar gráficamente la función   y = (2+x)/3

Siguiendo los pasos indicados, debemos elaborar primero la tabla de valores. Pero por la forma que tiene la función, si no queremos trabajar con decimales, vamos a ser algo "pillos" y le vamos a dar valores a la "x" de manera que no salgan números con decimales. Esto siempre se puede hacer, por que a la variable independiente le podemos dar los valores que queramos. Si pensáis un poco, veréis que los números más oportunos en este caso son:

x	- 5	- 2	1	4	7
y

Para calcular los correspondientes valores de y, basta con efectuar los cálculos, a partir de la expresión algebraica (llevad cuidado con los signos!)

Si x = -5, entonces  y = (2 + (-5))/3  =  -3 / 3 = -1.

Si x= - 1, entonces  y =  (2 + (-2))/3  =  0 / 3 = 0..

Si x = 0 , entonces  y =  (2 + 1 ))/3  =  +3 / 3 = +1.

Si x= 1 , entonces  y =  (2 + 4 )/3  =  6 / 3 = +2.

Si x = +2, entonces  y =  (2 + 7 )/3  =  9 / 3 = +3.

De manera que la tabla resultante es:

x	- 5	- 2	1	4	7
y	- 1	0	1	2	3

A continuación, representamos  los puntos en un diagrama OXY de ejes cartesianos, para obtener:

Uniendo los puntos, observamos que están alineados nuevamente,  y obtenemos así la gráfica de la función pedida. Observad que es una recta con menor inclinación (menor pendiente).

EJEMPLO 4:  Representar gráficamente la función  y =  1 - x²

En los casos precedentes todos los puntos se encuentran sobre una línea recta. Vamos a ver, con este ejemplo, que esto no siempre es así. Y para verlo procedemos del mismo modo que antes. Damos valores a "x", elaboramos una tabla de valores y luego representamos los puntos obtenidos.

x	- 2	- 1	0	1	2
y

Para calcular los correspondientes valores de y, basta con efectuar los cálculos, a partir de la expresión algebraica (llevad cuidado con los signos!)

Si x = -2, entonces  y = 1 - (-2)² = 1 - 4 = - 3.

Si x= - 1, entonces  y = 1 - (-1)² = 1 - 1 = 0.

Si x = 0 , entonces  y = 1 - 0² = 1.

Si x= 1 , entonces  y = 1 - 1² = 0.

Si x = +2, entonces  y = 1 - 2² = 1 - 4 = - 3

De manera que la tabla queda en la forma:

x	- 2	- 1	0	1	2
y	- 3	0	1	0	-3

Representando los puntos obtenidos, son A(-2,-3), B(-1,0),  C(0,1),  D(1,0) y E(2,-3), tendremos:

Vemos como ahora los puntos no se encuentran sobre una línea recta. Si los unimos, aparece una forma curvilínea, denominada parábola.

COPIA EN TU CUADERNO:

RECUERDA:

Observa este ejercicio y como se obtiene la tabla de valores y la gráfica de la función. ¿Cómo se denomina la función obtenida?

Si has comprendido esta parte vamos a por la tarea del día.

TAREA: Realizar los ejercicios  1, 2, 3 y 4 de la página 261 del libro de Matemáticas (volumen III), sobre representación gráfica de funciones, indicando el nombre de la función obtenida.

(Recuerda usar regla para la elaboración tanto de las tablas como de los gráficos)

De momento es todo por hoy. El próximo día aprenderemos las propiedades de la función lineal, para acabar el tema. Aprovechad el tiempo y estudiad mucho!

Como siempre, una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo:   fedematesxxi@gmail.com

  Este correo también lo tenéis disponible para dudas. Gracias por la atención. 

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Próxima sesión: Viernes 24  de Abril de 2020.