CLASE 30: Cuerpos geométricos. Prismas.

Buenos días!

Hoy es viernes y terminamos una nueva semana. En breve comenzaremos el mes de Junio y ya van quedando menos días para ver contenidos, en nuestras lecciones de Matemáticas on-blog. Os adelanto que estaremos subiendo lecciones  hasta probablemente el 10 de Junio, fecha en la que  prácticamente daremos por finalizadas las clases.  Los días siguientes los dejaremos para que los más atrasados se vayan poniendo al día, y vayan entregando las tareas pendientes...

Así que, el último día para enviar trabajos, será el Viernes 12 de Junio. Después de ese fecha,  podéis relajaros y esperar a recibir vuestras calificaciones, como resultado del trabajo realizado a lo largo de todo el año.  Ya sabéis que la calificación final del curso se obtiene como una media de las calificaciones obtenidas en las dos primeras evaluaciones (nota media) y se reforzará con las valoraciones obtenidas  en las diferentes tareas propuestas, durante estos últimos meses.  Ya os aviso que algunos de vosotros lo habéis estado haciendo muy bien, y la mayoría os habéis sabido adaptar a este nuevo tipo de enseñanza  a distancia. Todo eso contribuirá a mejorar la nota final.

Dicho ésto,  vamos a por lo que toca hoy. ¿Y qué toca hoy?, os preguntaréis algunos. Pues vamos a estudiar las figuras en el espacio. Más exactamente nos dirigimos   al tema 11 sobre cuerpos geométricos. Realmente haremos  una síntesis de los temas 11 y 12, donde aprenderemos a calcular áreas y volúmenes de los cuerpos geométricos más importantes.

Así que, sin más demora, coged vuestro libro de Matemáticas, abridlo por la página 216, el cuaderno por donde corresponda,  la regla y el compás a mano, y cuando estéis preparados, comenzamos...

POLIEDROS
Copia en tu cuaderno:

Un poliedro es un cuerpo geométrico, limitado por caras planas.  De hecho la palabra poliedro, significa precisamente eso, "poli" = muchos,   "edros" = caras.  Los principales tipos de poliedros son:

• Prismas
• Pirámides.
• Poliedros regulares.
• Tronco de cono.
• Tronco de pirámide.

Si observáis la imagen, todas las figuras son tridimensionales (3D) y están limitados por caras planas.  En la fila superior tenéis un tronco de pirámide, un prisma hexagonal y un poliedro regular de doce caras (dodecaedro). En la fila inferior las dos primeras son poliedros irregulares, y la última es un octaedro (poliedro regular de 8 caras).

Aunque los estudiaremos más adelante, un poliedro regular, es un poliedro cuyas caras son todas iguales. Por ejemplo,  en la imagen de arriba el dodecaedro posee 12 caras iguales a pentágonos regulares. Y el octaedro, justo debajo de él,  tiene sus 8 caras iguales a triángulos equiláteros.

También existen una clase especial de cuerpos geométricos, que no son poliedros, al no tener todas sus caras planas. Se denominan cuerpos de revolución y los principales son el cono, el cilindro y la esfera.

Dedicaremos las próximas lecciones a estudiar con detalle cada una de estas figuras, con el fin de determinar su área total y su volumen. Hoy comenzamos con la más sencilla de todas:  el prisma.


PRISMAS
Un prisma es un poliedro limitado por dos caras poligonales iguales y paralelas, llamadas bases, y varios paralelogramos, llamados caras laterales. Esto es lo que pone vuestro libro:

Los prismas pueden ser rectos u oblicuos.

Tipos de prismas.
Los prismas se clasifican según el número de lados de la base.

DESARROLLO PLANO DE UN PRISMA

Observa que en el desarrollo plano de un prisma recto, las caras laterales son rectángulos (tantos como lados tenga la base) y las bases son dos polígonos.


TAREA 1: Realiza en tu cuaderno  el ejercicio 1 de la página 216, para comprender mejor esta parte.

(Una vez lo hayas realizado, continuamos...)


SUPERFICIE DE UN PRISMA
Llamamos superficie total de un prisma, a la suma de las áreas de cada una de sus caras. Si nos fijamos en su desarrollo plano, es fácil darse cuenta de lo siguiente:

Veamos como calcular la superficie de diferentes tipos de prismas.

Ejemplo 1: 

Ejemplo 2:

Ejemplo 3: 

En todos los casos, debemos apoyarnos en el desarrollo plano. Calculamos primero el área lateral (perímetro de la base por la altura del prisma), luego el área de una base (con las fórmulas aprendidas para figuras planas) y luego sumamos el área lateral más dos veces el área de una base.  Para practicar esto vamos por la segunda tarea del día.


TAREA 2:  Realiza en tu cuaderno los ejercicios del 2 al 5 de la página 217.

(Una vez hayas realizado estos ejercicios, continuamos...)

VOLUMEN DE UN PRISMA
Para calcular el volumen de un prisma, sea recto u oblicuo, debes multiplicar el área de la base por su altura.

Ejemplo 4: Calcula el volumen en litros de un prisma de base hexagonal de 30 cm de arista básica y 1 metro de altura.

Fijaos que necesitamos conocer el área de la base, sea de la forma que sea. En el ejemplo anterior, nos faltaba un dato (la apotema) que calculamos con el teorema de Pitágoras. Una vez calculada la apotema, se aplica la fórmula del área de un hexágono regular, para saber el área de la base.

Al multiplicar el área de la base por la altura del prisma, obtenemos  el volumen del prisma. Como todas las medidas estaban dadas en centímetros el volumen se mide en centímetros cúbicos.

Para pasar a litros, debéis recordar que 1 decímetro cúbico = 1 litro. Y para pasar de centímetros cúbicos a decímetros cúbicos, basta dividir entre 100.  Por eso la solución final es  V = 234 litros.

Veamos qué tal se os da esta parte, con la última tarea del dia.

TAREA 3: Realiza en tu cuadernos los ejercicios 1 y 2 de la página 245, sobre volúmenes.

En el apartado (b) del ejercicio 1 aparece un cilindro. Esta figura no es un prisma, pero para calcular su volumen, se puede utilizar la misma fórmula, es decir, calcular el área de la base (que es un círculo) y multiplicar por la altura.
En el ejercicio 2, debes descomponer la figura en dos trozos, y calcular el volumen de cada uno de ellos por separado. Para calcular el volumen total, deberás sumar los volúmenes obtenidos de cada una de las piezas. O bien "volcar la figura" y pensar que es un prisma de base irregular y altura 20 cm. Eso ya depende de la visión geométrica con la que mires la figura. En cualquier caso, deberías obtener el mismo resultado para el volumen, usando cualquiera de los dos procedimientos.

El próximo día continuaremos con los siguientes cuerpos geométricos: las pirámides.

Como siempre, una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo:   fedematesxxi@gmail.com

  Este correo también lo tenéis disponible para dudas.

--------------------------    FIN   DE  LA   CLASE  --------------------------------

Próxima sesión: Lunes 1 de Junio de 2020.

CLASE 29: Autoevaluación del tema 10 (Semejanza)

Buenos días!

Volvemos un día más con nuestras clases de Matemáticas on-blog.  La clase de hoy es básicamente repaso de lo que hemos estado explicando estos días pasados: semejanza, teorema de Tales y sus aplicaciones.

Recordad que para aplicar el Teorema de Tales, necesitamos reconocer dos triángulos semejantes, esto es, que posean los mismos ángulos interiores. Entonces aplicaremos la proporción que existe entre sus lados homólogos. Vimos además como se podía utilizar este principio  para calcular la altura de objetos distantes. Os acordáis, verdad?

Pues dicho esto, vamos a ver si lo tenéis todo más o menos claro. Abrid vuestro libro por la página 213, el cuaderno en una hoja nueva, echad mano de vuestra regla de dibujo, y cuando estéis preparados vamos a por la única tarea del día...

TAREA:  Realizar la autoevaluación del tema 10, sobre semejanza, que encontraréis en la página 213 de vuestro libro (ejercicios del 1 al 6).

El próximo día comenzaremos el último tema del curso, sobre áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Ya sabéis aprovechad el tiempo que ya queda poco!

Como siempre, una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo:   fedematesxxi@gmail.com

  Este correo también lo tenéis disponible para dudas.

--------------------------    FIN   DE  LA   CLASE  --------------------------------

Próxima sesión: Viernes 29 de Mayo de 2020.

CLASE 28: Aplicaciones del Teorema de Tales.

Buenos días!

Comenzamos una nueva semana y retomamos nuestras clases de Matemáticas on-blog. Recordad que la semana pasada estuvimos estudiando la semejanza y el famoso Teorema de Tales. La clase de hoy la vamos a dedicar a ver algunas aplicaciones interesantes, para determinar distancias y longitudes de objetos. Así que básicamente vamos a resolver problemas.

Coged vuestro libro de Matemáticas, abridlo por la página 206, el cuaderno por donde corresponda, como siempre la regla de dibujo a mano, y cuando estéis preparados comenzamos...

1. Cálculo de la altura de un objeto mediante su sombra.

Recordad como Tales puedo calcular la altura de la gran pirámide de Keops. Plantó su bastón en el suelo y observó las sombras que producían en la arena, tanto la pirámide como su bastón.

Si llamamos con la letra "x" a la altura de la pirámide observó que se formaban dos triángulos semejantes, por tener los mismos ángulos interiores. Entonces, sus lados homólogos deben ser proporcionales.

x / bastón =  sombre pirámide / sombra bastón

Como conocía la longitud del bastón, y pudo medir fácilmente las sombras sobre la arena, sólo tuvo que despejar "x" de la ecuación. Con esta idea, se puede calcular la altura de un árbol o un edificio, simplemente haciendo mediciones desde el suelo. Copia en tu cuaderno el siguiente ejemplo, para aclarar las ideas:

Ejemplo 1: Calcula la altura de un árbol que proyecta sobre el suelo una sombra de 3,5 metros, sabiendo que el bastón tiene un altura de1,6 metros y proyecta una sombre a de 0,7 metros.

Solución:  Aplicando la fórmula anterior, tendríamos:

altura árbol / altura bastón = sombra árbol / sombra bastón

Es decir,  si llamamos con la letra "x" = altura del árbol, 

x / 1,6 = 3,5 / 0,7 -->  x = (1,6 · 3,5) / 0,7 =  5,6 / 0,7 = 8 metros.

El árbol tiene una altura de 8 metros.

Observa como se despeja "x" de la ecuación. Es lo mismo que aplicar una "regla de tres", como las que vimos en su día en clase. Si has entendido hasta aquí vamos a practicar esta parte con la primera tarea del día.

TAREA 1:  Realiza en tu cuaderno los ejercicios 1 y 2 de la página 206.

(Una vez realizada la tarea, continuamos...)

2. Cálculo de la altura de un objeto vertical sin recurrir a la sombra.

Existe otro procedimiento, para determinar la altura de un objeto, sin necesidad de medir la sombra proyectada en el suelo. Fíjate en la imagen que aparece en la página 207 de tu libro:

Observa como se forman dos triángulo semejantes. Uno grande de catetos c y d. Y otro más pequeño, sobre la mesa de catetos b y d. Por semejanza, sabemos que sus lados son proporcionales.

Ejemplo 2:

TAREA 2: Realiza en tu cuaderno el ejercicio 3 de la página 207.

En todos estos problemas debes reconocer dos o más triángulos semejantes, con el fin de establecer una proporción entre sus lados homólogos. Si conocemos todas las medidas menos una, podremos despejarla como hemos visto en los ejemplos previos.

Estas dos aplicaciones son básicas, pero resuelven multitud de problemas. La última parte de la clase de hoy va de practicarlas.  De eso va precisamente la última tarea del dia.

TAREA 3: Realiza en tu cuaderno los problemas 19, 20, 21 y 23  de la página 211, sobre aplicaciones del teorema de Tales.

(No aparecen todos los problemas en la imagen)

De momento es todo por hoy. En la próxima lección haremos un repaso del tema. Como siempre aprovechad el tiempo y estudiad mucho!

Como siempre, una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo:   fedematesxxi@gmail.com

  Este correo también lo tenéis disponible para dudas.

--------------------------    FIN   DE  LA   CLASE  --------------------------------

Próxima sesión: Miércoles 27  de Mayo de 2020.

CLASE 27: El Teorema de Tales

Buenos días!

Llegamos a un nuevo viernes, y retomamos un día más nuestras  clases de Matemáticas on-blog. La clase de hoy la vamos a dedicar al famoso Teorema de Tales. Existen muchas versiones del teorema. Nosotros vamos a ver la más sencilla, y sus aplicaciones. Recordad que ya en la lección anterior comentamos como Tales, midió la altura de la gran pirámide de Keops, haciendo uso de sombras y proporciones. Para ello aprendimos el importante concepto de semejanza. 

Hoy vamos a aprender la formulación matemática del teorema y algunas de sus aplicaciones geométricas. No es complicado pero requiere toda vuestra atención. Así que coged el  libro de Matemáticas, abridlo por la página 202, el cuaderno por donde corresponda, una regla y un cartabón a mano, y cuando estéis preparados comenzamos...

TEOREMA DE TALES

El teorema de Tales tiene que ver con figuras semejantes. Y más precisamente con la comparación de triángulos semejantes, obtenidos mediante rectas paralelas. Antes de nada, recuerda como se trazan rectas paralelas usando la regla y el cartabón:

Realiza en tu cuaderno una construcción geométrica, siguiendo los siguientes pasos:

• Dibuja dos rectas concurrentes en un punto O (dos rectas que se corten)
• Traza una recta cualquiera que corte a ambas, AA'
• Traza con regla y cartabón, rectas paralelas a la recta anterior, BB', CC', DD'

Debes obtener una composición como la que aparece en la página 202 de tu libro:

Si las distancias AB y BC no son iguales, tampoco lo serán las distancias A'B'  y B'C'. Pero hay una relación que si se conserva. Y es que los cuatro segmentos forman una proporción. Por ejemplo, si realizamos la siguiente construcción geométrica, y hacemos que la distancia AB sea doble que BC, entonces la distancia A'B' también será el doble que B'C'. Esto lo puedes comprobar fácilmente haciendo un dibujo.

En general,  las distancias AB y BC   están en la misma razón que las distancias entre A'B'  y B'C'. Esto es precisamente lo que afirma el Teorema de Tales que debes copiar en tu cuaderno:

Para entender mejor lo que quiere decir el teorema, veamos un primer ejemplo:

Ejemplo 1: Considera la siguiente construcción geométrica:

Si las rectas trazadas son paralelas, los segmentos formados forman una proporción numérica. Es decir,

9 / 3  = 15 / x

De algún modo es como decir: "el segmento 9 es a su proyección 3, como el segmento 15 lo es a la suya x ".  De donde, despejando x, obtenemos   x = 3 x 15 / 9 = 45 / 9 = 5 cm.

Para practicar esta primera parte, vamos a por la primera tarea del día:


TAREA 1: Realizar en el cuaderno los ejercicio 1 y 2 de la página 202, sobre el teorema de Tales.

(Una vez realizada la tarea, continuamos)


APLICACIÓN DEL TEOREMA DE TALES (Semejanza de triángulos)

Dos triángulos son semejantes si tienen los mismos ángulos interiores, y los lados homólogos son proporcionales. De hecho basta con probar alguna de estas dos cosas. Por ejemplo, si dos triángulos tienen los mismos ángulos, son semejantes. Y si dos triángulos tienen los lados homólogos proporcionales, también son semejantes.

Hay un caso particular que esto resulta evidente. Son los llamados triángulos en la posición de Tales, como puedes leer en la página 203 de tu libro:

Como se aprecia en la imagen hay un triángulo pequeño contenido en uno más grande. Como se puede comprobar todos los ángulos son los mismos, tanto en uno y como en otro triángulo. Por tanto son semejantes, y sus lados son proporcionales.

Observa el siguiente ejercicio resuelto:

Observa como se forman dos triángulos, uno contenido en otro. Ambos triángulos son semejantes, por tener los mismos ángulos interiores. En consecuencia, sus lados homólogos son proporcionales. Esto permite calcular el valor de la altura "a" en el dibujo. A partir de este ejemplo, continua con los ejercicios propuestos como tarea 2.

TAREA 2: Realiza en tu cuaderno los ejercicios 3 y 4 de la página 203, sobre triángulos semejantes.

(Una vez realizada la tarea, continuamos...)

UN CASO PARTICULAR DE SEMEJANZA (Triángulos rectángulos)

Cuando dos triángulos son rectángulos, tienen en común un ángulo de 90º. Por tanto, para comprobar si son semejantes, bastaría con ver que tienen otro ángulo común.

Por ejemplo, si tenemos dos triángulos rectángulos, y comprobamos que uno de sus ángulos agudos coincide, entonces son semejantes.

Por contra, si demostramos que dos triángulos rectángulos tienen catetos proporcionales, tambíén son semejantes, y tendrán sus ángulos interiores iguales.

Observa estos dos ejemplos que aparecen en la página 204 de tu libro.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Para terminar la clase de hoy vamos a practicar esto último con la siguiente tarea.

TAREA 3: Realiza en tu cuaderno los ejercicios del 1 al 4 de la página 204, sobre semejanza de triángulos rectángulos.

NOTA: En todos los ejercicios debes explicar razonadamente  las respuestas.

De momento es todo por hoy. En la próxima lección veremos algunas aplicaciones prácticas del   teorema de Tales. Como siempre, aprovechad el tiempo y estudiad mucho!

Como siempre, una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo:   fedematesxxi@gmail.com

  Este correo también lo tenéis disponible para dudas.

--------------------------    FIN   DE  LA   CLASE  --------------------------------

Próxima sesión: Lunes 25  de Mayo de 2020.

CLASE 26: Semejanza.

Buenos días!
Hoy comenzamos un tema nuevo. Vamos a explicar los conceptos básicos de semejanza, con el fin de explicar en la próxima lección el famoso Teorema de Tales.

Cuenta la historia que un sacerdote egipcio le preguntó a Tales de Mileto (s. IV a. C) acerca de la altura de la Pirámide de Keops, cuando ya las pirámides rondaban los 2.000 años de edad, y éste respondió con un método de lo más ingenioso para medir dicha altura. La historia dice así:

"Un sacerdote egipcio le pregunta sonriendo cuál puede ser la altura de la pirámide del rey Khufu (la pirámide de Keops). Tales reflexiona y a continuación contesta que no se conforma con calcularla a ojo, sino que la medirá sin ayuda de ningún instrumento. Se echa sobre la arena y determina la longitud de su propio cuerpo.

Los sacerdotes le preguntan qué es lo que está pensando, y Tales les explica: «Me pondré simplemente en un extremo de esta línea, que mide la longitud de mi cuerpo, y esperaré hasta que mi sombra sea igual de larga. En ese instante , la sombra de la pirámide de vuestro Khufu también ha de medir tantos pasos como la altura de la pirámide.»

El sacerdote, desorientado por la extrema sencillez de la solución, se pregunta si acaso no hay algún error, algún sofisma, Tales añade: «Pero si queréis que os mida esa altura, a cualquier hora, clavaré en la arena mi bastón.»

El método que utilizó Tales de Mileto para calcular la altura de la Pirámide de Keops es lo que conocemos como el Teorema de Tales. La idea es bien sencilla: a la misma hora del día los triángulos formados por la pirámide y su sombra, y el bastón y su sombra poseen los mismos ángulos y por tanto son figuras semejantes. En tal caso, Tales afirmaba que: 

Supongamos ahora que a una hora determinada del día, la sombra de la pirámide medía 280 metros, la sombra del bastón medía 2,87 metros y dicho bastón era de 1,5 metros. Según lo que hemos visto antes, tendríamos que:

de donde, despejando,

Que es el valor aproximado que tenía la pirámide de Keops en la antigüedad (actualmente tiene 136,86 m). El método que utilizó Tales de Mileto, tiene una enorme utilidad puesto que, entre otras muchas cosas, lo podemos emplear para averiguar la altura de cualquier objeto que sea grande sin necesidad de medirlo directamente.

Pero para comprender bien este resultado, necesitamos aprender primero el concepto de semejanza. Eso es lo que trataremos en la clase de hoy. 

1. SEMEJANZA
Abrid vuestro libro de Matemáticas por la página 194. En el margen de la izquierda os encontraréis con la siguiente imagen.

Se trata de unas muñecas rusas, conocidas como matrioskas. Su originalidad consiste en que se encuentran huecas, y en su interior albergan otra nueva muñeca y esta a su vez a otra, y así en un número variable que puede ir desde cinco hasta el número que se desee. Todas estas figuras son iguales en forma, pero no en tamaño.  No podemos decir que sean iguales, pero casi. Es por esto que se dicen semejantes.

Otro ejemplo clásico lo tenemos en las imágenes fotográficas, Cuando aplicamos un zoom a una fotografía, obtenemos la misma imagen (sin deformar) pero con distinto tamaño. Dos fotografías del mismo objeto, donde una es ampliación o reducción de otra, se dice que son copias semejantes.

COPIA EN TU CUADERNO:

En dos figuras semejantes se cumplen dos propiedades:

• Los ángulos medidos en la primera figura coinciden con los ángulos correspondientes de la segunda.  Por tanto mantienen la misma forma.
• La proporción entre dos lados medidos en la primera figura coincide con la proporción entre los correspondientes lados medidos en la segunda.

Esto es más fácil verlo, con  un ejemplo:

Si nos fijamos en las dos cabezas, cualquier ángulo medido en la primera, coincide con el ángulo de la segunda (por ejemplo el ángulo de la nariz)

Además si dividimos el alto de la cabeza grande a, entre el ancho b, en una y otra imagen, obtendremos el mismo resultado.

 a / b = a' / b' 

Llamamos lados homólogos aquellos que se corresponden entre las figuras. Por ejemplo, en el caso de las cabezas, el homólogo de a es a', y el homólogo de b es b'. Pues bien, para figuras semejantes se tiene la siguiente propiedad fundamental:

Propiedad fundamental de semejanza: si tenemos dos figuras semejantes, la razón (cociente) entre lados homólogos es siempre constante. A dicha constante se le llama razón de semejanza. (k)

K = a/a' = b/b' 

Veamos algunos ejemplos de aplicación.

Ejemplo 1: Observa las siguientes imágenes de un cohete. Con una fotocopiadora hemos reducido el cohete de la izquierda, obteniendo el de la derecha.

Ejemplo 2:  Observa los siguientes cuadriláteros:

Parece que uno es ampliación del otro. Vamos a determinar si es cierto que sean semejantes, y calcularemos la razón de semejanza.
En primer lugar deberíamos medir los ángulos de una y otra figura, con el transportador de ángulos.
Comprobaríamos que todos los ángulos correspondientes son iguales, es decir,

 A = A'            B = B'           C= C'         D=D'

En segundo lugar, comprobamos que los lados homólogos son proporcionales. El homólogo del lado AD = 5 cm   es el lado A'D' = 7,5 cm. Si calculamos la razón entre estos segmentos, obtenemos:

A'D' / AD = 7,5 / 5 = 1,5

El lado homólogo a CD = 8 cm  es el lado C'D' = 12 cm: La razón entre este par de segmentos, es:

C'D' / CD = 12 / 8 = 1,5

Obtenemos la misma razón. Y esto sucederá siempre que hagamos el cociente de dos lados homólogos. Por tanto se trata de figuras semejantes, con razón de semejanza,

K = 1,5

Esto quiere decir que el triángulo de la derecha es 1,5 veces mayor que el de la izquierda!

Ejemplo 3:  La razón de semejanza de dos triángulos semejantes es k = 0,4. Si el mayor tiene 3 cm de base y 5 cm de altura, determina la altura y la base del triángulo menor.
Solución: 

Si has comprendido hasta aquí, vamos a por la primera tarea del día.

TAREA 1: Realiza en tu cuaderno los ejercicios 1 y 2 de la página 195, sobre figuras semejantes.

(Una vez realices la tarea, continuamos...)


2.RELACIONES ENTRE PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES DE FIGURAS SEMEJANTES.

RELACIÓN ENTRE LOS PERÍMETROS.
Propiedad 1: Si dos figuras son semejantes, la razón entre sus perímetros coincide con la razón de semejanza.

P / P' = lado / lado' = k 

Si nos fijamos los rectángulos son semejantes. La razón de semejanza es 2/1 = 4/2= 2
Eso significa que la razón de semejanza del primero entre el segundo es  k = 2
El perímetro de la primera figura es  P = 12. Mientras que el de la segunda P' = 6.
Si hacemos la razón entre los perímetros, obtenemos  P / P' = 2, es decir, la razón entre los perímetros coincide con la razón de semejanza.


RELACIÓN ENTRE LAS ÁREAS.
Propiedad 2: Si dos figuras son semejantes, la razón entre sus áreas coincide con el cuadrado de la razón de semejanza.

                                                            A / A' =k^2   (razón de semejanza al cuadrado)


Si nos fijamos en el ejemplo anterior, el área de la primera figura es A = 8, mientras que el de la segunda es A' = 2. Observar que la razón entre las áreas es  A / A' = 8 / 2  = 4, que coincide con el cuadrado de la razón de semejanza.  A / A' = k^2 = 2^2.



RELACIÓN ENTRE LOS VOLÚMENES.
Propiedad 3: Si dos cuerpos son semejantes, la razón entre sus volúmenes coincide con el cubo de la razón de semejanza.

V / V' = k^3  (razón de semejanza al cubo)

Por ejemplo, si duplicamos el lado de un cubo, obtenemos uno cuyo volumen es 8 veces el volumen del cubo original. La razón de semejanza de estas figuras es  k = 2, porque cada lado del segundo mide el doble que el correspondiente lado del primero. En cambio la relación entre los volúmenes no es dos, sino dos al cubo, 2^3 = 8.

TAREA 2: Realiza en tu cuaderno el ejercicio 3 de la página 196, sobre áreas y volúmenes de figuras semejantes.

TAREA 3: Realiza en tu cuaderno el ejercicio 4 de la página 197.

NOTA: En este último ejercicio, debes explicar razonadamente todas las respuestas.

De momento es todo por hoy. En la próxima lección explicaremos el teorema de Tales, y sus aplicaciones a la semejanza de triángulos. Aprovechad el tiempo y estudiad mucho!

Como siempre, una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo:   fedematesxxi@gmail.com

  Este correo también lo tenéis disponible para dudas.

--------------------------    FIN   DE  LA   CLASE  --------------------------------

Próxima sesión: Viernes 22  de Mayo de 2020.