Buenos días!
Llegamos a un nuevo viernes y retomamos nuestras clases de Matemáticas on-blog. Creo que la semana próxima sólo subiré dos lecciones más, para dar por finalizado el curso. Depende en buena medida, de cómo vayáis entendiendo y respondiendo a las últimas tareas. Os recuerdo que hay de plazo hasta el viernes 12 de Junio para presentar las tareas propuestas durante este tercer trimestre. Luego ya, tomaremos unas merecidas vacaciones y podremos desconectar. De momento debemos seguir en el estudio.
La clase de hoy va sobre los cuerpos de revolución. Estas figuras geométricos no son propiamente poliedros, ya que como sabéis, no todas sus caras son poligonales planas. Pero tienen una gran importancia en geometría. Todos ellos se obtienen la hacer girar una superficie alrededor de un eje de rotación.
Los cuerpos de revolución mas importantes son tres: cilindros, conos y esferas.
En cada caso aprenderemos las fórmulas para calcular su área lateral, total y volumen. La mayor parte de estas fórmulas no las podremos demostrar, así que tendréis que creéroslas sin más, esperando a una demostración rigurosa en próximos cursos, ok? En cualquier caso trataremos de exponerlas razonadamente.
Así que sin más demora, coged vuestro libro de Matemáticas, por la página 227, el cuaderno por donde corresponda, el escritorio ordenado, y cuando estéis preparados comenzamos...
Un cilindro es la figura que resulta al enrollar una hoja de papel, por ejemplo. De hecho, la palabra "cilindro" procede del griego "kulindo", que significa "enrollado". Si recortamos un rectángulo de una cartulina, y lo hacemos girar rápidamente alrededor de uno de sus lados, obtendremos una figura similar. Por esa razón se considera un cuerpo de revolución.
DESARROLLO PLANO DEL CILINDRO.
Ésto nos da una idea de cómo calcular la superficie total de un cilindro. En primer lugar debemos calcular el área de una base que es un círculo (A = Pi · r^2). En segundo lugar, la superficie lateral del cilindro se corresponde con un rectángulo de base la longitud de la circunferencia (2·Pi·r ) y altura la del propio cilindro. El área total será igual al área lateral más las dos bases.
Veamos un ejemplo de aplicación de estas fórmulas.
Ejemplo 1:
TAREA 1: Realiza en tu cuaderno los ejercicios 2, 3 y 4 de la página 226, sobre cilindros (los ejercicios 1 y 5 no se hacen)
VOLUMEN DEL CILINDRO
Para calcular el volumen del cilindro, podemos usar la misma fórmula que para cualquier figura prismática.
Ejemplo 2: Calcula el volumen en litros de un cilindro de 30 cm de radio y 1 metro de altura.
Solución: Observar que no podemos mezclar unidades. Pasando todo a centímetros, tendremos:
Observad en el ejemplo como el volumen obtenido se mide en centímetros cúbicos.
Como 1 litro = 1 decímetro cúbico, bastará dividir entre 1000, para pasar el volumen a litros.
TAREA 2: Calcula el área lateral, total y el volumen de un cilindro de 90 mm de radio y 20 cm de altura. Expresa el volumen en litros.
(Una vez efectuada la tarea, continuamos...)
El cono es la superficie de revolución obtenida al hacer girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.
DESARROLLO PLANO DE UN CONO.
Si cortamos un cono por una generatriz, obtenemos dos figuras planas: la base del cono que es un círculo de cierto radio, y un sector circular, cuyo radio es precisamente la generatriz, y se corresponde con su superficie lateral.
Ejemplo 3: Calcula el area lateral y total de un cono de 30 cm de radio y 40 cm de altura.
Solución: Observar que lo primero que tenemos que determinar es la generatriz (g) del cono.
Por el teorema de Pitágoras, g es la hipotenusa de un triángulo de catetos 30 y 40. Por tanto,
g2 = 302
+ 402 = 900 + 1600 = 2500 → g = 50 cm.
Área lateral = 3,14 · 30 · 50 = 4710 cm2
Área base = 3.14 ·
r2 = 3.14 · 302 = 3.14 · 900 = 2826 cm2
Área total = Área lateral + Área base = 4710 + 2826 = 7536 cm2
VOLUMEN DEL CONO
3. ESFERAS
Las esferas con los cuerpos geométricos más perfectos, ya que encierran infinitas simetrías. Se obtienen al hacer girar medio círculo alrededor de su diámetro. Tal como aparece en vuestro libro,
Esto nos permite calcular el área de cualquier casquete esférico sin más que saber el radio de la esfera y la altura del casquete.
Ejemplo: Determinar la superficie de un casquete esférico de 4 m de alto, si el radio de la esfera es de 9 m.
TAREA 4: Aplicando las fórmulas anteriores, realiza en tu cuaderno los ejercicios 1 y 2 de la página 230, sobre superficies esféricas.
VOLUMEN DE LA ESFERA
Si en lugar de una esfera completa, nos piden una parte, habrá que dividir dicha cantidad. Es lo que se lee en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Por último acabamos con un ejercicio de aplicación.
TAREA 5: Responde en tu cuaderno las siguientes cuestiones:
(a) Calcula la superficie y el volumen de una esfera de 20 cm de radio, expresando el resultado del volumen en litros.
(b) Calcula el radio de una esfera, en cuyo interior caben 200 litros de agua, expresando el resultado en centímetros.
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Como habréis podido comprobar esta lección ha sido algo extensa, pero son todas las fórmulas que había que aprender este año, sobre cuerpos geométricos. No hay más contenidos nuevos. Tratad de haceros un glosario de todas las fórmulas, a modo de resumen. Os puede servir a la hora de hacer las tareas. En la próxima lección haremos un repaso de los principales contenidos vistos. Como siempre, aprovechad el tiempo al máximo y estudiad mucho!
Como siempre, una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo: fedematesxxi@gmail.com
Este correo también lo tenéis disponible para dudas.
-------------------------- FIN DE LA CLASE --------------------------------
Próxima sesión: Lunes 8 de Junio de 2020.
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