CLASE 27: El Teorema de Tales

Buenos días!

Llegamos a un nuevo viernes, y retomamos un día más nuestras  clases de Matemáticas on-blog. La clase de hoy la vamos a dedicar al famoso Teorema de Tales. Existen muchas versiones del teorema. Nosotros vamos a ver la más sencilla, y sus aplicaciones. Recordad que ya en la lección anterior comentamos como Tales, midió la altura de la gran pirámide de Keops, haciendo uso de sombras y proporciones. Para ello aprendimos el importante concepto de semejanza. 

Hoy vamos a aprender la formulación matemática del teorema y algunas de sus aplicaciones geométricas. No es complicado pero requiere toda vuestra atención. Así que coged el  libro de Matemáticas, abridlo por la página 202, el cuaderno por donde corresponda, una regla y un cartabón a mano, y cuando estéis preparados comenzamos...

TEOREMA DE TALES

El teorema de Tales tiene que ver con figuras semejantes. Y más precisamente con la comparación de triángulos semejantes, obtenidos mediante rectas paralelas. Antes de nada, recuerda como se trazan rectas paralelas usando la regla y el cartabón:

Realiza en tu cuaderno una construcción geométrica, siguiendo los siguientes pasos:

• Dibuja dos rectas concurrentes en un punto O (dos rectas que se corten)
• Traza una recta cualquiera que corte a ambas, AA'
• Traza con regla y cartabón, rectas paralelas a la recta anterior, BB', CC', DD'

Debes obtener una composición como la que aparece en la página 202 de tu libro:

Si las distancias AB y BC no son iguales, tampoco lo serán las distancias A'B'  y B'C'. Pero hay una relación que si se conserva. Y es que los cuatro segmentos forman una proporción. Por ejemplo, si realizamos la siguiente construcción geométrica, y hacemos que la distancia AB sea doble que BC, entonces la distancia A'B' también será el doble que B'C'. Esto lo puedes comprobar fácilmente haciendo un dibujo.

En general,  las distancias AB y BC   están en la misma razón que las distancias entre A'B'  y B'C'. Esto es precisamente lo que afirma el Teorema de Tales que debes copiar en tu cuaderno:

Para entender mejor lo que quiere decir el teorema, veamos un primer ejemplo:

Ejemplo 1: Considera la siguiente construcción geométrica:

Si las rectas trazadas son paralelas, los segmentos formados forman una proporción numérica. Es decir,

9 / 3  = 15 / x

De algún modo es como decir: "el segmento 9 es a su proyección 3, como el segmento 15 lo es a la suya x ".  De donde, despejando x, obtenemos   x = 3 x 15 / 9 = 45 / 9 = 5 cm.

Para practicar esta primera parte, vamos a por la primera tarea del día:


TAREA 1: Realizar en el cuaderno los ejercicio 1 y 2 de la página 202, sobre el teorema de Tales.

(Una vez realizada la tarea, continuamos)


APLICACIÓN DEL TEOREMA DE TALES (Semejanza de triángulos)

Dos triángulos son semejantes si tienen los mismos ángulos interiores, y los lados homólogos son proporcionales. De hecho basta con probar alguna de estas dos cosas. Por ejemplo, si dos triángulos tienen los mismos ángulos, son semejantes. Y si dos triángulos tienen los lados homólogos proporcionales, también son semejantes.

Hay un caso particular que esto resulta evidente. Son los llamados triángulos en la posición de Tales, como puedes leer en la página 203 de tu libro:

Como se aprecia en la imagen hay un triángulo pequeño contenido en uno más grande. Como se puede comprobar todos los ángulos son los mismos, tanto en uno y como en otro triángulo. Por tanto son semejantes, y sus lados son proporcionales.

Observa el siguiente ejercicio resuelto:

Observa como se forman dos triángulos, uno contenido en otro. Ambos triángulos son semejantes, por tener los mismos ángulos interiores. En consecuencia, sus lados homólogos son proporcionales. Esto permite calcular el valor de la altura "a" en el dibujo. A partir de este ejemplo, continua con los ejercicios propuestos como tarea 2.

TAREA 2: Realiza en tu cuaderno los ejercicios 3 y 4 de la página 203, sobre triángulos semejantes.

(Una vez realizada la tarea, continuamos...)

UN CASO PARTICULAR DE SEMEJANZA (Triángulos rectángulos)

Cuando dos triángulos son rectángulos, tienen en común un ángulo de 90º. Por tanto, para comprobar si son semejantes, bastaría con ver que tienen otro ángulo común.

Por ejemplo, si tenemos dos triángulos rectángulos, y comprobamos que uno de sus ángulos agudos coincide, entonces son semejantes.

Por contra, si demostramos que dos triángulos rectángulos tienen catetos proporcionales, tambíén son semejantes, y tendrán sus ángulos interiores iguales.

Observa estos dos ejemplos que aparecen en la página 204 de tu libro.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Para terminar la clase de hoy vamos a practicar esto último con la siguiente tarea.

TAREA 3: Realiza en tu cuaderno los ejercicios del 1 al 4 de la página 204, sobre semejanza de triángulos rectángulos.

NOTA: En todos los ejercicios debes explicar razonadamente  las respuestas.

De momento es todo por hoy. En la próxima lección veremos algunas aplicaciones prácticas del   teorema de Tales. Como siempre, aprovechad el tiempo y estudiad mucho!

Como siempre, una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo:   fedematesxxi@gmail.com

  Este correo también lo tenéis disponible para dudas.

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Próxima sesión: Lunes 25  de Mayo de 2020.