Hoy comenzamos un tema nuevo. Vamos a explicar los conceptos básicos de semejanza, con el fin de explicar en la próxima lección el famoso Teorema de Tales.
Cuenta la historia que un sacerdote egipcio le preguntó a Tales de Mileto (s. IV a. C) acerca de la altura de la Pirámide de Keops, cuando ya las pirámides rondaban los 2.000 años de edad, y éste respondió con un método de lo más ingenioso para medir dicha altura. La historia dice así:
"Un sacerdote egipcio le pregunta sonriendo cuál puede ser la altura de la pirámide del rey Khufu (la pirámide de Keops). Tales reflexiona y a continuación contesta que no se conforma con calcularla a ojo, sino que la medirá sin ayuda de ningún instrumento. Se echa sobre la arena y determina la longitud de su propio cuerpo.
Los sacerdotes le preguntan qué es lo que está pensando, y Tales les explica: «Me pondré simplemente en un extremo de esta línea, que mide la longitud de mi cuerpo, y esperaré hasta que mi sombra sea igual de larga. En ese instante , la sombra de la pirámide de vuestro Khufu también ha de medir tantos pasos como la altura de la pirámide.»
El sacerdote, desorientado por la extrema sencillez de la solución, se pregunta si acaso no hay algún error, algún sofisma, Tales añade: «Pero si queréis que os mida esa altura, a cualquier hora, clavaré en la arena mi bastón.»
El método que utilizó Tales de Mileto para calcular la altura de la Pirámide de Keops es lo que conocemos como el Teorema de Tales. La idea es bien sencilla: a la misma hora del día los triángulos formados por la pirámide y su sombra, y el bastón y su sombra poseen los mismos ángulos y por tanto son figuras semejantes. En tal caso, Tales afirmaba que:
Supongamos ahora que a una hora determinada del día, la sombra de la pirámide medía 280 metros, la sombra del bastón medía 2,87 metros y dicho bastón era de 1,5 metros. Según lo que hemos visto antes, tendríamos que:
de donde, despejando,
Que es el valor aproximado que tenía la pirámide de Keops en la antigüedad (actualmente tiene 136,86 m). El método que utilizó Tales de Mileto, tiene una enorme utilidad puesto que, entre otras muchas cosas, lo podemos emplear para averiguar la altura de cualquier objeto que sea grande sin necesidad de medirlo directamente.
Pero para comprender bien este resultado, necesitamos aprender primero el concepto de semejanza. Eso es lo que trataremos en la clase de hoy.
1. SEMEJANZA
Abrid vuestro libro de Matemáticas por la página 194. En el margen de la izquierda os encontraréis con la siguiente imagen.
COPIA EN TU CUADERNO:
En dos figuras semejantes se cumplen dos propiedades:
Llamamos lados homólogos aquellos que se corresponden entre las figuras. Por ejemplo, en el caso de las cabezas, el homólogo de a es a', y el homólogo de b es b'. Pues bien, para figuras semejantes se tiene la siguiente propiedad fundamental:
Propiedad fundamental de semejanza: si tenemos dos figuras semejantes, la razón (cociente) entre lados homólogos es siempre constante. A dicha constante se le llama razón de semejanza. (k)
Veamos algunos ejemplos de aplicación.
Ejemplo 1: Observa las siguientes imágenes de un cohete. Con una fotocopiadora hemos reducido el cohete de la izquierda, obteniendo el de la derecha.
Ejemplo 2: Observa los siguientes cuadriláteros:
Parece que uno es ampliación del otro. Vamos a determinar si es cierto que sean semejantes, y calcularemos la razón de semejanza.
En primer lugar deberíamos medir los ángulos de una y otra figura, con el transportador de ángulos.
Comprobaríamos que todos los ángulos correspondientes son iguales, es decir,
En segundo lugar, comprobamos que los lados homólogos son proporcionales. El homólogo del lado AD = 5 cm es el lado A'D' = 7,5 cm. Si calculamos la razón entre estos segmentos, obtenemos:
El lado homólogo a CD = 8 cm es el lado C'D' = 12 cm: La razón entre este par de segmentos, es:
Obtenemos la misma razón. Y esto sucederá siempre que hagamos el cociente de dos lados homólogos. Por tanto se trata de figuras semejantes, con razón de semejanza,
Ejemplo 3: La razón de semejanza de dos triángulos semejantes es k = 0,4. Si el mayor tiene 3 cm de base y 5 cm de altura, determina la altura y la base del triángulo menor.
Solución:
Si has comprendido hasta aquí, vamos a por la primera tarea del día.
TAREA 1: Realiza en tu cuaderno los ejercicios 1 y 2 de la página 195, sobre figuras semejantes.
(Una vez realices la tarea, continuamos...)
2.RELACIONES ENTRE PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES DE FIGURAS SEMEJANTES.
RELACIÓN ENTRE LOS PERÍMETROS.
Propiedad 1: Si dos figuras son semejantes, la razón entre sus perímetros coincide con la razón de semejanza.
Si nos fijamos los rectángulos son semejantes. La razón de semejanza es 2/1 = 4/2= 2
Eso significa que la razón de semejanza del primero entre el segundo es k = 2
El perímetro de la primera figura es P = 12. Mientras que el de la segunda P' = 6.
Si hacemos la razón entre los perímetros, obtenemos P / P' = 2, es decir, la razón entre los perímetros coincide con la razón de semejanza.
RELACIÓN ENTRE LAS ÁREAS.
Propiedad 2: Si dos figuras son semejantes, la razón entre sus áreas coincide con el cuadrado de la razón de semejanza.
A / A' =k^2 (razón de semejanza al cuadrado)
Si nos fijamos en el ejemplo anterior, el área de la primera figura es A = 8, mientras que el de la segunda es A' = 2. Observar que la razón entre las áreas es A / A' = 8 / 2 = 4, que coincide con el cuadrado de la razón de semejanza. A / A' = k^2 = 2^2.
RELACIÓN ENTRE LOS VOLÚMENES.
Propiedad 3: Si dos cuerpos son semejantes, la razón entre sus volúmenes coincide con el cubo de la razón de semejanza.
Por ejemplo, si duplicamos el lado de un cubo, obtenemos uno cuyo volumen es 8 veces el volumen del cubo original. La razón de semejanza de estas figuras es k = 2, porque cada lado del segundo mide el doble que el correspondiente lado del primero. En cambio la relación entre los volúmenes no es dos, sino dos al cubo, 2^3 = 8.
TAREA 2: Realiza en tu cuaderno el ejercicio 3 de la página 196, sobre áreas y volúmenes de figuras semejantes.
TAREA 3: Realiza en tu cuaderno el ejercicio 4 de la página 197.
NOTA: En este último ejercicio, debes explicar razonadamente todas las respuestas.
Abrid vuestro libro de Matemáticas por la página 194. En el margen de la izquierda os encontraréis con la siguiente imagen.
Se trata de unas muñecas rusas, conocidas como matrioskas. Su originalidad consiste en que se encuentran huecas, y en su interior albergan otra nueva muñeca y esta a su vez a otra, y así en un número variable que puede ir desde cinco hasta el número que se desee. Todas estas figuras son iguales en forma, pero no en tamaño. No podemos decir que sean iguales, pero casi. Es por esto que se dicen semejantes.
Otro ejemplo clásico lo tenemos en las imágenes fotográficas, Cuando aplicamos un zoom a una fotografía, obtenemos la misma imagen (sin deformar) pero con distinto tamaño. Dos fotografías del mismo objeto, donde una es ampliación o reducción de otra, se dice que son copias semejantes.
En dos figuras semejantes se cumplen dos propiedades:
- Los ángulos medidos en la primera figura coinciden con los ángulos correspondientes de la segunda. Por tanto mantienen la misma forma.
- La proporción entre dos lados medidos en la primera figura coincide con la proporción entre los correspondientes lados medidos en la segunda.
Esto es más fácil verlo, con un ejemplo:
Si nos fijamos en las dos cabezas, cualquier ángulo medido en la primera, coincide con el ángulo de la segunda (por ejemplo el ángulo de la nariz)
Además si dividimos el alto de la cabeza grande a, entre el ancho b, en una y otra imagen, obtendremos el mismo resultado.
a / b = a' / b'
Llamamos lados homólogos aquellos que se corresponden entre las figuras. Por ejemplo, en el caso de las cabezas, el homólogo de a es a', y el homólogo de b es b'. Pues bien, para figuras semejantes se tiene la siguiente propiedad fundamental:
Propiedad fundamental de semejanza: si tenemos dos figuras semejantes, la razón (cociente) entre lados homólogos es siempre constante. A dicha constante se le llama razón de semejanza. (k)
K = a/a' = b/b'
Veamos algunos ejemplos de aplicación.
Ejemplo 1: Observa las siguientes imágenes de un cohete. Con una fotocopiadora hemos reducido el cohete de la izquierda, obteniendo el de la derecha.
Ejemplo 2: Observa los siguientes cuadriláteros:
Parece que uno es ampliación del otro. Vamos a determinar si es cierto que sean semejantes, y calcularemos la razón de semejanza.
En primer lugar deberíamos medir los ángulos de una y otra figura, con el transportador de ángulos.
Comprobaríamos que todos los ángulos correspondientes son iguales, es decir,
A = A' B = B' C= C' D=D'
En segundo lugar, comprobamos que los lados homólogos son proporcionales. El homólogo del lado AD = 5 cm es el lado A'D' = 7,5 cm. Si calculamos la razón entre estos segmentos, obtenemos:
A'D' / AD = 7,5 / 5 = 1,5
El lado homólogo a CD = 8 cm es el lado C'D' = 12 cm: La razón entre este par de segmentos, es:
C'D' / CD = 12 / 8 = 1,5
Obtenemos la misma razón. Y esto sucederá siempre que hagamos el cociente de dos lados homólogos. Por tanto se trata de figuras semejantes, con razón de semejanza,
K = 1,5
Esto quiere decir que el triángulo de la derecha es 1,5 veces mayor que el de la izquierda!
Solución:
Si has comprendido hasta aquí, vamos a por la primera tarea del día.
TAREA 1: Realiza en tu cuaderno los ejercicios 1 y 2 de la página 195, sobre figuras semejantes.
(Una vez realices la tarea, continuamos...)
2.RELACIONES ENTRE PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES DE FIGURAS SEMEJANTES.
RELACIÓN ENTRE LOS PERÍMETROS.
Propiedad 1: Si dos figuras son semejantes, la razón entre sus perímetros coincide con la razón de semejanza.
P / P' = lado / lado' = k
Eso significa que la razón de semejanza del primero entre el segundo es k = 2
El perímetro de la primera figura es P = 12. Mientras que el de la segunda P' = 6.
Si hacemos la razón entre los perímetros, obtenemos P / P' = 2, es decir, la razón entre los perímetros coincide con la razón de semejanza.
RELACIÓN ENTRE LAS ÁREAS.
Propiedad 2: Si dos figuras son semejantes, la razón entre sus áreas coincide con el cuadrado de la razón de semejanza.
A / A' =k^2 (razón de semejanza al cuadrado)
Si nos fijamos en el ejemplo anterior, el área de la primera figura es A = 8, mientras que el de la segunda es A' = 2. Observar que la razón entre las áreas es A / A' = 8 / 2 = 4, que coincide con el cuadrado de la razón de semejanza. A / A' = k^2 = 2^2.
RELACIÓN ENTRE LOS VOLÚMENES.
Propiedad 3: Si dos cuerpos son semejantes, la razón entre sus volúmenes coincide con el cubo de la razón de semejanza.
V / V' = k^3 (razón de semejanza al cubo)
Por ejemplo, si duplicamos el lado de un cubo, obtenemos uno cuyo volumen es 8 veces el volumen del cubo original. La razón de semejanza de estas figuras es k = 2, porque cada lado del segundo mide el doble que el correspondiente lado del primero. En cambio la relación entre los volúmenes no es dos, sino dos al cubo, 2^3 = 8.
TAREA 2: Realiza en tu cuaderno el ejercicio 3 de la página 196, sobre áreas y volúmenes de figuras semejantes.
TAREA 3: Realiza en tu cuaderno el ejercicio 4 de la página 197.
De momento es todo por hoy. En la próxima lección explicaremos el teorema de Tales, y sus aplicaciones a la semejanza de triángulos. Aprovechad el tiempo y estudiad mucho!
Como siempre, una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo: fedematesxxi@gmail.com
Este correo también lo tenéis disponible para dudas.
-------------------------- FIN DE LA CLASE --------------------------------
Próxima sesión: Viernes 22 de Mayo de 2020.
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